Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice
Úvod
Ekvivalentné úpravy
Pri riešení rovníc a nerovníc v školskej matematike sa žiaci stretávajú predovšetkým s implikačnými a ekvivalentnými metódami riešenia. Implikačná úprava sa nazýva aj dôsledková úprava. V niektorých prípadoch sa pri riešení s výhodou použije aj experimentovanie. Ide predovšetkým o prípady, keď výroková forma vystupujúca v nerovnici nemá charakter kvadratickej (lineárnej) formy. Napríklad v úlohe:
Riešenie
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla
. Ľahko zistíme, že čísla 2,3,4 vyhovujú danej nerovnici (sú jej riešením) a čísla
nie sú riešením v množine
. Využitím programov GeoGebra a Excel môžeme experimentálne overiť toto tvrdenie na dostatočne veľkom počte prirodzených čísel.
Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu
Pri riešení postupujeme tak, že postupne dosadíme čísla
![n=1,2,...4,5, ... n=1,2,...4,5, ...](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/041c883fa5dd511ea4a7f1443e7faf37.png)
![n>6 n>6](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/544a681a86e514df09b4678f351945c9.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8eb269105a4cc9beb305b4ce34541859.png)
Otvorte konštrukciu TuOtvorte tabuľku Excel Tu
Nerovnica
- Nerovnica je úloha, v ktorej treba nájsť všetky prvky
spĺňajúce nerovnosť
. Množinu
nazývame obor nerovnice.
- Výraz
nazývame ľavá strana nerovnice, výraz
nazývame pravá strana nerovnice.
- Definičný obor nerovnice
je podmnožina množiny
, v ktorej majú všetky výrazy v nerovnici zmysel.
- Množina riešení
je množina všetkých tých prvkov množiny
, ktoré spĺňajú danú nerovnosť.
Ekvivalentné úpravy nerovníc
- Nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej na celej množine
rovná.
- Pripočítanie výrazu, ktorý je definovaný v celom definičnom obore nerovnice
, k obidvom stranám nerovnice.
- Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom obore nerovnice
nadobúda kladné hodnoty. Vynásobenie obidvoch strán nerovnice výrazom, ktorý v celom definičnom obore nerovnice
nadobúda záporné hodnoty a súčasne obrátenie znaku nerovnosti.
- Umocnenie resp. odmocnenie obidvoch strán nerovnice na druhú, štvrtú atď., ak obidve strany nerovnice nadobúdajú v celom definičnom obore nerovnice nezáporné hodnoty..
- Nepárne umocnenie a odmocnenie oboch strán nerovnice.
___________________________________________________________________________
1)
je to číselná množina, v ktorej hľadáme prvky spĺňajúce danú nerovnosť; pre naše účely bude to množinam reálnych čísel
1)
![\mathcal {O} \mathcal {O}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ad5e4c3e8eba2f9224c65ca856b2677.png)