Množinová aritmetika
Peano
Množinová aritmetika
Súčet
Definícia - sčítanie kardinálnych čísel.
Nech
sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú
.
Pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo zjednotenia
V definícii predpokladáme, že množiny
sú disjunktné.
Nech
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small card (A), card (B) \small card (A), card (B)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/236fd20de581f6c99d263a0b776be7e5.png)
![\small A \cup B \small A \cup B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/626c4c119cd9ffc383e175832ad0f708.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A \cup B), A \cap B= \emptyset \small card (A)+card (B) = card(A \cup B), A \cap B= \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c7f4294868154f91ac4196a859136b7.png)
V definícii predpokladáme, že množiny
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Ak množiny
nie sú disjunktné, tak vieme nájsť množiny
, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť
.
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín
budeme rozumieť súčet kardinálnych čísel množín
.
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín
.
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast \small A \approx A^ \ast , B \approx B^ \ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7cd1116f7be5583b02f58f5dd65fdc57.png)
Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A^ \ast ,B^ \ast \small A^ \ast ,B^ \ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e5e720750c3f5723036c7107ce29c83.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast) \small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07d9e2bd6ce325f7d24afecaf3efeaf4.png)
Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná, tak nemôže závisieť od výberu množín
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
Veta - o súčte kardinálnych čísel.
Nech
sú množiny, pre ktoré platí
a nech
sú ľubovoľné disjunktné množiny,
pre ktoré platí
. Potom platí:
Nech
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3aca76cc5885c8b98b036b0291b3df.png)
![\small A\cap B=\emptyset \small A\cap B=\emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/309b3f4e17db308fe9a0c2d2b6852849.png)
![\small A^\ast,B^\ast \small A^\ast,B^\ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7eb44f9d2dc6746e953f9219f2cdd580.png)
![\small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast \small A\approx A^\ast,\ B\approx B^\ast](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e9ab559c4c5c633f4734075a1cfe03e.png)
![\small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast) \small card (A)+card (B) = card(A^ \ast)+card(B^ \ast)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/07d9e2bd6ce325f7d24afecaf3efeaf4.png)