Reálne a komplexné čísla
Reálne a komplexné čísla
Dedekindove rezy
Vlastnosti rezov
Dokážte tvrdenia
- Nech
je kladný rez na množine racionálnych čísel. Potom podmnožina
je Dedekindov rez.
-
Nech
a nech
.
- Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy:
. Nech
je racionálne číslo. Zrejme platí
,
odkiaľ dostávame.
- Druhú vlastnosť budeme dokazovať nepriamo. Predpokladajme sporom, že
.
Prebude aj
. Z definície
dostávame, že existuje
také, že
.
Pretože
musí tiež platiť
Týmto sme ukázali, že
odkiaľ dostávame, že (\), čo je spor.
- Tretia vlastnosť:
.
Z definície rezuvyplýva, že existuje
. Zrejme platia nerovnosti:
,
odkiaľ,
preto platí.
(interpretujte túto situáciu v applete). - Štvrtá vlastnosť: rez
nemá najväčší prvok. Nepriamo: nech
je najväčší prvok. Z definíciedostávame, že existuje
také, že
,
čo je spor s vlastnosťou "byť najväčší".
- Najskôr ukážeme, že platí prvá vlastnosť pre rezy:
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí:
.
Dôkaz
- Nech
, potom existujú racionálne čísla
. Z definície rezu
dostávame, že existuje racionálne číslo
, pre ktoré je
.
Keďžea
, tak musí platiť
. Zvoľte si v applete body
tak, aby spĺňali tieto podmienky.
Z monotónnosti sčítania dostaneme
Z poslednej nerovnosti vyplýva, že,
preto platí množinová inklúzia.
- Ak
, tak musíme nájsť dve racionálne čísla
, pre ktoré bude platiť:
. Predpokladajme, že také dve racionálne čísla
existujú. Potom z definície rezu
vyplýva, že
.
Pre racionálne číslomusí existovať
, pričom platí
. Po jednoduchej úprave dostaneme
.
Predchádzajúca nerovnosť hovorí, že. Zároveň vidíme, že
.
Záver: Ak existujú dve racionálne číslas požadovanou vlastnosťou, tak platí
.
- Nech
je kladný rez. Potom podmnožina
, kde
je tiež Dedekindov rez
- Pre ľubovoľný kladný rez
platí:
.
Dôkaz
-
Nech
.
- Ukážeme, že
. Uvažujme dva prípady
a
.
- v prvom prípade existuje prirodzené číslo
ale
teda patrí do doplnku
- v druhom prípade
určite existuje číslo
,
V oboch prípadoch (i. aj ii.) je - Pri dôkaze druhej vlastnosti rezov
môžeme postupovať opäť tak, že dôkaz rozdelíme do dvoch častí:
a
.
Načrtnite tieto situácie v applete. - Nech
a nech
má vlastnosť
. Potom aj racionálne číslo
patrí do rezu:
.
- Rez
nemá najväčší prvok. Dokážeme nepriamo:
- Nastavte obrázok ...
- dôkaz je podobný
![-\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace -\alpha= \lbrace{x \in Q ; \exists a \in \alpha': (x \leq -a) \; \wedge \;(-a \in -\alpha) }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/659310aeaac367f1cf446bd4368950dc.png)
![(-a \in -\alpha) (-a \in -\alpha)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f87ac481e994d75389622ed04756604a.png)
![-a -a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/71c2dc1c1ff7db303843cb8caf2c0ed8.png)
![-\alpha -\alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/10784f1c9f4fe96c27a4eb1e27226041.png)
![\alpha^{-1} \neq \emptyset \alpha^{-1} \neq \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34a7bc69fcd0b287aee65890c930ab36.png)
![\alpha^{-1} \neq \emptyset \alpha^{-1} \neq \emptyset](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34a7bc69fcd0b287aee65890c930ab36.png)