Číselné obory na základných a stredných školách
Číselné obory na základných a stredných školách
Celé čísla
Jedna z náročných ale zároveň dôležitých etáp pri rozširovaní číselných oborov na základnej škole je rozšírenie oboru prirodzených čísle na obor celých čísel.
Zavedenie oboru celých čísel je v súčasnosti zakotvené v učebných osnovách pre 8. ročník ZŠ. Východiskovým pojmom je opačné číslo.
Prv než začneme s charakteristikou procesu výstavby celých čísel na ZŠ a komparáciou učebníc matematiky používaných na ZŠ, uvedieme teoretické východiská k tejto problematike.
Motiváciou pri zavádzaní celých čísel môže byť problém, ktorý nastane pri pokuse riešiť niektoré lineárne rovnice v obore prirodzených čísel. Napríklad:
Prv než začneme s charakteristikou procesu výstavby celých čísel na ZŠ a komparáciou učebníc matematiky používaných na ZŠ, uvedieme teoretické východiská k tejto problematike.
Motiváciou pri zavádzaní celých čísel môže byť problém, ktorý nastane pri pokuse riešiť niektoré lineárne rovnice v obore prirodzených čísel. Napríklad:
Jednoduchá algebraická rovnica
, ktorej koeficienty
sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie.
![x+5=2 x+5=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fe19e9ade2ce0985b63c5df90b6c28bb.png)
![1,2,5 1,2,5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a40a9d99b2098e5b573234d60f370989.png)
- Ak budeme aplikovať ekvivalentnú úpravu „odčítanie“ čísla
k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme
.
- Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme
a na pravej strane dostanem riešenie v tvare
.
- Veľmi ľahko sa presvedčíme, že rozdiel
v obore prirodzených čísle neexistuje. Preto je nutné vytvoriť číselný obor, v ktorom takýto rozdiel existuje.
- Myšlienka vytvorenia nového číselného oboru pomocou "rozdielov dvoch prirodzených čísel" je nosnou pri zavádzaní oboru celých čísel v teoretickej aritmetike na VŠ.
Vysoká škola - teoretická aritmetika
Na začiatku je vhodné (aj keď nie nutné) zaviesť pojem opačného čísla
k ľubovoľnému prirodzenému číslu
, ktoré sa definuje pomocou rovnosti
.
Celé čísla zavedieme pomocou vhodnej relácie ekvivalencie a rozkladu karteziánskeho súčinu
množiny prirodzených čísel
podľa takejto relácie ekvivalencie. Na prednáškach z teoretickej aritmetiky sa dozviete, že táto relácia je definovaná nasledovne:
Pozrite si vlastnosti tejto relácie Tu
Na začiatku je vhodné (aj keď nie nutné) zaviesť pojem opačného čísla
![m m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b201df56bca8cf871c68453376127fc.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![n+m=0 n+m=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d011b0c8e516a016a326f699353cbc2a.png)
Celé čísla zavedieme pomocou vhodnej relácie ekvivalencie a rozkladu karteziánskeho súčinu
![N \times N N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51a3b1dd1625d51f8b73e10ddf761d48.png)
Nech
je rozklad karteziánskeho súčinu
, potom triedy tohto rozkladu môžeme považovať za celé čísla, ak zadefinujeme vhodné operácie súčtu a súčinu. Napríklad usporiadané dvojice prirodzených čísel
a
patria do tej istej triedy rozkladu a teda predstavujú to isté "záporné" číslo
.
![\small (N \times N)/R \small (N \times N)/R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d425f31a4e6d114ce2685d840476e71.png)
![\small N \times N \small N \times N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/14a269f3f73fa4e78bcd870581a375d5.png)
![(2,5) (2,5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/acb9e724058c09c92af747c7cea5ec79.png)
![(0,3) (0,3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/975eabbdc4174712e8086be4f36665a0.png)
![-3 -3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a272d4065df05c54a9e1f108e59a0124.png)
Vráťme sa teraz do 8. ročníka základnej školy a pokúsme sa vyriešiť rovnicu
.
Pri jej riešení môžeme použiť aj nasledovný postup:
Zistili sme, že riešenie môžeme zapísať dvomi spôsobmi:
resp.
.
![x + 5 = 2 x + 5 = 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae829f0afb9605ce526b6d00b5cfa2a6.png)
Pri jej riešení môžeme použiť aj nasledovný postup:
![x + 5 = 2 x + 5 = 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae829f0afb9605ce526b6d00b5cfa2a6.png)
![x=(-3) x=(-3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da06a427fac186f04e547b2d4cd6e878.png)
![x=(2- 5) x=(2- 5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0974cebd9ed02d9aedeaf26680111355.png)
Závery:
Historické pozadie
Záporné čísla sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (202 pred n.l.) sú použité červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla.
Tento systém je opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode.
Záporné čísla sa objavili po prvýkrát v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (202 pred n.l.) sú použité červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/159049/mod_book/chapter/2796/ZaporneCina.png)
Tento systém je opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti bankovníctva, účtovníctva a obchode.
- V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický matematik Brahmagupta, uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.
- Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202).
- Gottfried Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.
Poznámka
Matematici v rôznych historických obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli).
Matematici v rôznych historických obdobiach považovali záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli).