Grécka matematika
Euklides z Alexandrie
Ukážka vety SSS
Ak dva trojuholníky sa zhodujú vo všetkých troch odpovedajúcich si stranách, tak majú zhodné aj odpovedajúce uhly
.
Formulácia vety v Euklidových Základoch
podľa Euklida upravený podľa súčasnej terminológie
-
Nech
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5128f579b83322a464b5b5065364dd8.png)
![DEF DEF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/351ddff802b19d46a672134006ac2529.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
![AC AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35ed99217933dfe09b0194e1a3251ec2.png)
![DE DE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1cebdfc294e06ee3772cb818c561677b.png)
![DF DF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7946f263461aaa5a8bfce6d985ed091.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
![DE DE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1cebdfc294e06ee3772cb818c561677b.png)
![AC AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35ed99217933dfe09b0194e1a3251ec2.png)
![DF DF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7946f263461aaa5a8bfce6d985ed091.png)
![BC BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/886a2f4b696ad3881ed755fd2f5ea71b.png)
![EF EF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e2f983080f4019c4254954b049ac63a2.png)
![BAC BAC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c9634fd3f4226dc4e6d4bd2ab57c261.png)
![EDF EDF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a8d7799c0f80993e7b90ef008b5d5be.png)
![sss sss](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c111c91c83de76aee93d04489709823.png)
- Nech trojuholník
je prenesený na trojuholník
tak, aby bod
bol umiestnený na bode
a priamka
na
.
- Potom bod
sa prekrýva (zhoduje) s bodom
, pretože
sa rovná
.
- Ukážeme, že aj úsečka
resp.
sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou
resp.
. Budeme dokazovať nepriamo.
- Nech základňa
sa prekrýva (zhoduje) so základňou
ale strany
a
sa neprekrývajú so stranami
a
(zobrazia vedľa ako
a
). Uvažujme prípad, keď bod
bude v polrovine
:
- →
- Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I ) vyplýva:
- Keďže trojuholník
je rovnoramenný, tak uhol
rovná uhlu
.
- Z polohy bodu
vyplýva, že uhol
je väčší ako uhol
.
- Tiež trojuholník
je rovnoramenný, preto aj uhol uhol
rovná uhlu
.
- Z polohy bodu
vyplýva, že uhol
väčší ako uhol
, čo je spor.
- Preto musí byť bod
totožný s bodom
.
- Podobne postupujeme v prípade, ak bod
bude v polrovine
.
- Ukázali sme, že strana
resp.
sa prekrýva so stranou
resp.
. To znamená, že uhol
sa rovná uhlu
.
-
Teraz stačí použiť vetu
a dostávame tvrdenie: trojuholníky
a
sú zhodné.
1) V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ). Český preklad vety sss.