Dejiny matematiky

Archimedov práca " Meranie kruhu" sa opiera o

1. exhaustívnu metódu, s pomocou ktorej Archimedes popísal pomer medzi obvodom a obsahom kruhu,
2. pomerne presnú aproximáciu konštanty označované dnes ako Ludolfovo číslo $\small \pi$.

Exhaustívna metóda

V Euklidových Základoch je princíp exhaustívnej metódy vyjadrený v prvej vete 10. knihy. Exhaustívna metóda je systematický spôsob riešenia problémov, pri ktorom sa skúmajú možné prípady pomocou iterácií. Aj keď je metóda spoľahlivá, jej nevýhodou je časová a výpočtová náročnosť pri veľkom počte možností.

Veta (Upravený text Veta1 Kniha X, Základy).
Ak máme veličiny $\small S, \normalsize\epsilon$, pričom je $\epsilon < \small S$. Ak postupne od $\small S$ odoberáme veličiny $\small a,b,c$, pričom
$\small a > \frac{S}{2}, \quad b > \frac{S - a}{2}, \quad c > \frac{S - a - b}{2}, \quad \dots$
potom je po určitom počte krokov} $\small S - a - b - c - \dots - k < \varepsilon$ resp. $\small a + b + c + \dots \to S$.

Toto je moderná formulácia Eudoxovej exhaustívnej metódy, ktorú používal Eudoxos z Knidu a ktorú využil aj Archimedes pri výpočte obsahov a objemov.
Dôkaz (Pre obsah kruhu $\small K$ využívaný Archimedom).

1. Odčítajme od obsahu $\small S_K$ kruhu $\small K$ obsah vpísaného štvorca.
2. Dostaneme menej ako polovicu obsahu kruhu $\small K$.
Cvičenie (Pre žiakov gymnázií).
Dokážte toto tvrdenie.
3. Ak vpíšeme do štyroch vzniknutých kruhových výsekov prirodzeným spôsobom rovnoramenné trojuholníky, odčítame opäť viac ako polovicu obsahu týchto výsekov atď.
4. Od štvorca tak dôjdeme k pravidelnému osemuholníku, obdobným spôsobom k 16-uholníku atď.

Prvé dve iterácie v Archimedovom dôkaze: Pravidelný 4- uholník a 8-uholník. Otvorte si interaktívny applet Tu.
5. Ak tento postup dostatočne dlho opakujeme, priblížime sa obsahom pravidelného 2k-uholníka zdola akokoľvek blízko k obsahu kruhu $\small K$.

Poznámky. (Význam vety a dôkazu)

1. Veta hovorí o postupnom priblížení k určitej veličine $\small S_K$ tak, že v každom kroku odoberáme viac ako polovicu zostávajúcej hodnoty.
2. V dôkaze sa táto metóda aplikuje na "obsah kruhu" tým, že postupne vpisujeme pravidelné mnohouholníky s rastúcim počtom strán.
3. Kľúčová myšlienka: Ak tento postup opakujeme dostatočne dlho, plocha pravidelného mnohouholníka sa môže priblížiť "ľubovoľne blízko" k obsahu kruhu.
4. Toto je v podstate predchodca moderného pojmu limity a integrálneho počtu.

Archimedov odhad.

Archimedes približne určil hodnotu Ludolfovho čísla $π$ metódou vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky (vpísané aj opísané) a dospel k odhadu:
$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$
Otvorte si interaktívny applet Tu a nastavte hodnotu na $\small n=96$. Teda v desiatkovom zápise:
3,1408 < $π$ < 3,1429,
čo predstavuje presnosť na dve desatinné miesta. V dnešnej terminológii vpísaných a opísaných regulárnych polygónov dosiahneme tieto hranice až pri hodnote $\small n=157$. Otvorte si interaktívny applet "Archimedes_ObsahObvodKruhu_Trivium"-Tu a nastavte hodnotu na $\small n=157$.

Historický argument.

Archimedova metóda je popísaná v jeho diele „O meraní kruhu“ (Περὶ τοῦ κυκλίου μέτρου). Toto dielo sa zachovalo len čiastočne, ale jeho hlavná myšlienka sa dochovala v arabských a byzantských rukopisoch. Archimedes využil exhaustívnu metódu, ktorú prevzal od Eudoxa a ktorá je predchodcom infinitezimálneho počtu.
V diele postupne zdokonaľoval svoj odhad $\small π$ zvyšovaním počtu strán mnohouholníkov, čím získaval čoraz presnejšie hodnoty. Originálny text, nájdete napríklad v:

1. [HEA] T. L. Heath: The Works of Archimedes (1897) – obsahuje preklady Archimedových spisov do angličtiny.
2. [BER] J. L. Berggren, J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi: A Source Book (2004) – podrobne opisuje históriu výpočtov π. Niektoré kapitoly tejto práce sú dostupné Tu.
   
   V tejto práci v kapitole " Archimedes. Measurement of Circle" sa popisuje metóda aproximácie aproximácie čísla $\small π$, ktorú použil Archimedes pri určovaní obsahu kruhu. Archimedes ohraničil hodnotu $\small π$ použitím vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky na získanie nasledujúcej aproximácie:
   $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$
   čo v desiatkovej sústave zodpovedá
   $3.1408 < \pi < 3.1429.$
   Použitie vpísaných a opísaných mnohouholníkov. (Pozrite si prácu (BER, 2004) strana 9 až 14., výber si prezrite Tu.)
   Archimedes začal s pravidelným šesťuholníkom vpísaným do kruhu. Postupne zvyšoval počet strán mnohouholníkov a aplikoval vzťahy medzi dĺžkami ich strán a polomerom kruhu. Výpočet prebiehal pomocou rekurentných vzorcov na výpočet dĺžok strán postupne jemnejšie rozdelených mnohouholníkov. Použil nasledovné vzťahy pre polovičné uhly v pravouhlých trojuholníkoch vznikajúcich pri delení strán mnohouholníka (pozrite prácu (BEC,2012) str. 51):
   $s_{\small 2n}=\frac{s_{n}}{\sqrt{2 - \sqrt{4 - s_{n}^2}}}$,
   kde $\small n$ je dĺžka strany pravidelného $\small n$-uholníka vpísaného do kruhu. Vo svojich výpočtoch Archimedes využil znalosti gréckej matematiky v oblasti určovania približných hodnôt rôznych iracionálych čísel. Napríklad v Measurement of Circle použil aproximáciu druhej odmocniny čísla 3:
   $\frac{\sqrt{3}}{1} =\frac{265}{153}$,
   ktorá určuje odmocninu z troch až na 4 desatinné čísla.

Výpočty s využitím súčasných znalostí si môžete pozrieť Tu.