Historický pohľad na vývoj matematiky

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Dejiny matematiky
Kniha:	Historický pohľad na vývoj matematiky

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 4 júna 2026, 03:21

Štyri etapy

1. Počiatky - tvorba elementárnych matematických pojmov (paleolit - asi 2,5 milióna – 10 000 pred n. l.).

Historický kontext
V období paleolitu sa začali formovať prvé základy matematických pojmov. Tieto základy vychádzali z praktických potrieb:

Počítanie objektov (napr. zvieratá, predmety).
Orientácia v priestore na základe prírodných bodov.
Meranie času pomocou cyklov prírody: deň/noc, ročné obdobia.
Prvé geometrické predstavy: kruhy, čiary, rytiny. Dozrievajú predpoklady pre vznik matematiky ako samostatnej teoretickej vedy.

Prvé matematické metódy
Objavujú sa nástroje pre riešenie praktických problémov, súvisiace s prežitím. Počítanie a sledovanie množstva objektov, napr. zveri alebo nástrojov.

Používanie uzlov a rytín na kostiach a kameňoch: Napríklad rytiny Věstonická vrubovka, Ishango kosti: hypotéza o prvých počtoch.
Rozlišovanie medzi „jedným“, „viac“ a „mnoho“.
Symbolické použitie čísel a geometrických tvarov.
Formuje sa aritmetika aj geometria, matematika je úzko spojená s praxou.
Táto etapa sa končí v starovekom Grécku (5. stor. p.n.l), kedy vzniká tzv. čistá matematika (logika, dôkazy).

Záver: Matematické myslenie v paleolite bolo úzko späté s potrebami každodenného života. Bola to najdlhšia etapa, trvajúca mnoho tisícročí.

2. Obdobie konštantných veličín (od 6. storočia pred n. l. do 16. storočia n. l.).

Toto obdobie je tiež niekedy nazýva obdobie statickej matematiky.
Matematika sa sformovala ako veda o číslach, veličinách a geometrických útvaroch.
Je to najdlhšia etapa, trvajúca mnoho tisícročí.

3. Obdobie premenných veličín (približne do začiatku 19. storočia).

Matematika buduje aparát na popísanie zmeny a pohybu.
Vzniká analytická geometria, buduje a rozvíja sa matematická analýza.

4. Súčasná matematika (od 19. storočia po súčasnosť).

Matematika má abstraktný charakter, vyznačuje sa snahou o osvetlenie základov matematiky.
Matematika má vysokú aplikovateľnosť a stáva sa nenahraditeľným nástrojom všetkých vedných odborov.

Vyberte si jednu tému (v odporúčanej literatúre), ktorú spracujte ako seminárnu prácu. Vašu seminárnu prácu budete prezentovať na seminári.
Literatúra: Kvasz, L., Kapitoly z dejín algebry. MFF-UK, Bratislava

Konštatné veličiny

Obdobie konštantných veličín

Úvod do obdobia konštantných veličín

Časové vymedzenie

Charakteristika obdobia

Matematika sa sformovala ako systematická veda o číslach, veličinách a geometrických útvaroch. Príklady významných problémov a ich riešení

Pytagorova veta - použitie v stavebníctve, navigácii a astronómii.
Euklidove Základy - deduktívne dokazovanie vlastností geometrických útvarov.

Tzv. "statická matematika" sa zameriavala na nemenné veličiny a objekty.

Cieľom bolo pochopenie a formalizácia základných princípov prírody a logiky - axiomatika.

Významné civilizácie a ich príspevky

Staroveké Grécko (6. storočie pred n. l. – 5. storočie n. l.). Vytvorenie matematiky ako deduktívnej teórie.:

Pytagoras

Vzťah medzi číslami a hudbou, slávna veta o trojuholníku.
Čísla vnímali nielen ako nástroje výpočtu, ale aj ako duchovné princípy.

Euklides

Dielo Základy (Elementy): Prvý systematický súbor matematických poznatkov.
Formalizácia geometrie pomocou axióm a definícií.
Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov).

Archimedes

Výpočty obsahu a objemu geometrických útvarov.
Archimedova axióma - predchodca integrálneho počtu.

Indická matematika (4. – 12. storočie):

Zavedenie desiatkovej pozičnej sústavy.
Brahmagupta: Práca s nulou a zápornými číslami.
Aryabhata: Významné príspevky k trigonometrickým funkciám.

Arabská matematika (8. – 15. storočie):

Al-Chorezmí: Základy algebry a algoritmov (od jeho mena pochádza slovo "algoritmus").
Zachovanie a rozvoj gréckych a indických poznatkov.
Významné práce o kvadratických a kubických rovniciach.

Stredoveká Európa (11. – 16. storočie):

Fibonacci (13. storočie): Kniha o počtoch (šírenie desiatkovej sústavy v Európe).
Rozvoj geometrie a aritmetiky na univerzitách.

Charakteristiky obdobia statickej matematiky

Zameranie na konštanty:

Práca s pevne danými číslami, geometrickými útvarmi a veličinami.
Abstrakcia bez zmeny veličín (dynamika sa rozvíjala až neskôr).

Vývoj axiomatických systémov:

Euklidova geometria ako model axiomatickej metódy.
Hľadanie univerzálnej pravdy prostredníctvom deduktívnych postupov.

Rozvoj algebry a aritmetiky:

Riešenie lineárnych a kvadratických rovníc.
Riešenie rovníc 3. a 4. stupňa.
Zavedenie symboliky (napr. Arabské číslice).
Zavedenie desiatkovej číselnej sústavy.

Geometria:

Skúmanie vlastností trojuholníkov, kruhov a iných útvarov.
Práca s proporciami a mierkou.

Záver

Obdobie konštantných veličín predstavovalo dlhú, stabilnú etapu matematiky, kde sa formovali základné princípy aritmetiky, geometrie a algebry.
Položilo pevné základy pre neskoršie revolučné objavy v dynamickej matematike.

Premenné

Prechodné obdobie

Prechod do obdobia dynamickej matematiky

Neskoré stredoveké pokroky:

Počiatky analytickej geometrie (Descartes).
Vývoj infinitesimálneho počtu (16. – 17. storočie).

Zmeny v pohľade na veličiny:

Postupný prechod od statických systémov k dynamickým a premenlivým systémom. Pozri prácu Tu.

Obdobie premenných veličín (Časové vymedzenie - 17. storočie až začiatok 19. storočia.)

Hlavné zameranie.

Matematika sa zameriava na štúdium zmien a dynamiky.
Významným pokrokom je zavedenie pojmov premenných veličín a funkcií.
Analytické a numerické metódy sa stali kľúčovými nástrojmi na opis a riešenie problémov spojených s pohybom, rastom a premenlivosťou.

Analytická geometria. Pozri si históriu analytickej geometrie Tu.
Priekopníci: René Descartes a Pierre de Fermat.

Zavedenie karteziánskej súradnicovej sústavy.
Spojenie geometrie a algebry – geometrické útvary sa popisujú pomocou rovníc.
Analytická geometria umožňuje popisovať dráhu pohybu bodu (napr. trajektórie projektilov).
Vytvára základ pre vývoj diferenciálneho a integrálneho počtu.

Diferenciálny a integrálny počet.
Zakladatelia: Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz.

Diferenciálny počet: Analýza okamžitých zmien (rýchlosť, zrýchlenie).
Integrálny počet: Riešenie problémov spojených so súčtom nekonečne malých častí (obsah plochy, objem).
Mechanika: Newtonove pohybové zákony a ich matematický popis.
Astronómia: Predpovede planetárnych pohybov.
Hydrodynamika a ďalšie fyzikálne oblasti.

Obdobie klasickej analýzy

Kľúčoví predstavitelia:

Leonhard Euler: Rozvoj funkcionálneho prístupu, zavedenie konštánt (napr. $e, i, \pi$ ), teória radov.
Pierre-Simon Laplace: Teória pravdepodobnosti, Laplaceova transformácia.
Joseph-Louis Lagrange: Mechanika a variačný počet.
Jean le Rond d'Alembert: Riešenie diferenciálnych rovníc.

Hlavné témy:

Vývoj teórie diferenciálnych rovníc.
Analýza nekonečných radov a ich konvergencie.
Riešenie problémov dynamiky a stability systémov.

História teórie pravdepodobnosti

Blaise Pascal a Pierre de Fermat: Korešpondencia o hrách náhody, základy teórie pravdepodobnosti.
Pierre-Simon Laplace: Aplikácia pravdepodobnosti na štatistiku, astronómiu a spoločenské vedy.
Počiatky poistenia, hazardné hry, rozhodovacie procesy.

Mechanické kalkulátory

Blaise Pascal: Pascalina – prvý mechanický kalkulátor (1642).
Gottfried Wilhelm Leibniz: Vylepšený kalkulátor schopný násobenia a delenia.
Zjednodušenie výpočtov, inšpirácia pre neskorší vývoj počítačov.

Záver

Toto obdobie znamená revolúciu v matematike a jej aplikáciách. Vznikajú metódy na opis zmien, ktoré položili základy pre modernú matematiku, fyziku a iné vedy. Matematika sa stáva univerzálnym nástrojom na pochopenie dynamických procesov vo vesmíre.

$$ .$ $

Súčasná matematika

Obdobie zovšeobecnených kvantitatívnych a priestorových vzťahov (Od 1.pol. 19.st. do súčasnosti)

1. Matematika je presunutá na vyššiu úroveň abstrakcie.

Vznikajú nové matematické štruktúry (teórie). Príklady takýchto teórií sú neeuklidovské geometrie (Lobačevskij, Bolyai, Gauss, Riemann).
Problémy riešenia rovníc (stupne vyššie ako štyri) viedli k vzniku teória algebrických štruktúr (grúp - Galois a Abel).
Upresnenie základov matematickej analýzy, ktoré umožnili vznik funkcionálnej analýzy, topológie, atď.

2. Špecializácia viedla k vzniku samostatných matematických teórií.

Teória hier, ale aj štúdie o optimalizácie, matematickej informatiky a iných odborov.
Diskrétna matematika - teória grafov

Mezopotámia

Mezopotámska matematika (Sumerská).

Sumerská matematika dosiahla vyššiu úroveň než egyptská. Sumeri zaviedli pozičný číselný systém (hodnotu neurčoval iba znak, ale i jeho poloha).

Šesťdesiatková číselná sústava.

Mezopotámske civilizácie sa datujú od roku 2000 do roku 600 pred n. l. Mezopotámske civilizácie sa často nazývajú babylonskými. Na písomné záznamy Sumeri používali hlinené doštičky (tablety z mäkkej hliny), do ktorých údaje zaznamenávali klinovým písmom. Všeobecne sa vyskytujú dva typy matematických tabliet, tabuľkové texty a problémové texty.

Tabuľkové texty sú iba tabuľky hodnôt na určitý účel, ako sú napríklad multiplikačné tabuľky, tabuľky váh a mier, recipročne tabuľky a podobne.
Problémové texty sa zaoberajú riešením alebo metódami riešenia algebraických alebo geometrických problémov. Úloha učiteľa bola nepochybne významná.

Zachovali sa prepisy matematických textov zo staro-babylonského obdobia (okolo 1800 až 1600 pred n. l.) V matematike boli Babylončania (Sumeri) o niečo vyspelejší ako Egypťania. Ich matematický zápis bol pozičný a šesťdesiatkový. Ich geometria bola niekedy nesprávna.

Nepoznali nulu.
Používali zlomky.
Riešili kvadratické rovnice dopĺňaním do štvorca.
Dokázali vyriešiť lineárne systémy.
Poznali Pytagorejské trojice čísel.
Riešili kubické rovnice pomocou tabuliek.

Babylončania používali základný šesťdesiatkový číselný systém. Napríklad na obrázku "Babylonský zápis čísla 37"
♠ vľavo je znázornené číslo, ktoré predstavuje tridsaťsedem "jednotiek":

$\small 3 \times 10 + 7$ ,
♠ vpravo je znázornené číslo, ktoré predstavuje súčet

$\small 3 \times 60^2 + 42 \times 60^1 + 9=13 329$ .

iný zápis

Babylonský zápis čísla 37 (vľavo) a čísla 13 329 (vpravo).

Starí Babylončania nepoužívali symbol pre nulu, ale pre nulovú hodnotu (v našej terminológii - nulovú číslicu) nechávali prázdny priestor medzi číslicami (klinovými zoskupeniami) rôzneho rádu. Tu však vzniká problém ako rozlíš resp zapísať čísla, v ktorých niektorá číslica je nulová. Napríklad pri zapísaní/znázornení čísel

$\small 3 \times 60^2 + 42 \times 60^1 + 9=13 329$

$\small 3 \times 60^3 + 42 \times 60^1 + 9=650529$
by sme v druhom prípade mali medzi prvým a druhým zoskupením vytvoriť "dve" medzery, čo je veľmi problematické. Babylončania

vedeli riešiť úlohy so zlomkami, pozrite si ukážku

Zápis *šesťdesatinného* čísla 1;,24,1,10.
Z dochovaných záznamov na tabletoch môžeme usudzovať, že Babylončania poznali zlomky, ktorých formálny zápis bol v tvare
,
kde $\small d_i$ sú "číslice" z intervalu $\left\langle0,59 \right\rangle$ . Napríklad číslo z obrázka "Zápis *šesťdesatinného* čísla 1;,24,1,10" sa dá vyjadriť pomocou zlomkov takto:
$\small 1;24,51, 10 =1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1,41421296$
vedeli riešiť dokonca niektoré typy kvadratických rovníc,
vedeli riešiť lineárne rovnice s jednou i dvoma neznámymi, niektoré kubické,
poznali i vzorec na výpočet objemov niektorých jednoduchých telies i Pytagorovu vetu v mimoriadnych prípadoch.

Rozmach mezopotámskej matematiky pochádza z obdobia vlády kráľa Chammurapiho (1792 – 1750 pred n.l.)

Úloha.
Vytvorte babylonské zápisy (šesťdesiatková číselná sústava) rôznych čísel (desiatková číselná sústava). Otvorte si pomocou v Skicáre pomôcku Tu.

$$ .$ $

Sumerská vzdelanosť

Hlinená tabuľka s plánom mesta Nippur pochádza približne z roku 1500 pred naším letopočtom a je považovaná za najstarší známy mestský plán na svete. Nippur bol staroveké sumerské mesto Mezopotámie. Na tejto tabuľke sú zobrazené hlavné časti mesta vrátane chrámu boha Enlila, mestských hradieb a ďalších dôležitých štruktúr.

Vľavo: Hlinená tabuľka mesta Nippur; Vpravo: farebná rekonštrukcia

V starobabylonskom období, dospeli obyvatelia Mezopotámie na vysoký stupeň znalostí v matematike.

Sumeri pravdepodobne ako prví aproximovali Ludolfovo číslo $\small \pi \; (\; \doteq 3.14 )$ .
Pomerne presne určili druhú odmocninu z čísla 2 ( $\small \doteq 1.421$ ).
Poznali tvrdenie Pytagorovej vety $\small a^2 + b^2 = c^2$ . Nevieme však, či poznali aj zdôvodnenie tohto tvrdenia.

$$ .$ $

Odmocniny

Druhé odmocniny a Pytagorova veta.

Babylončania pri výpočtoch bežne aproximovali

$\small \sqrt[]{2}$ pomocou racionálneho čísla, vo všeobecnosti používali zápis

$\small 1;24,51,10 \quad \quad \left( 1 \quad 24 \quad 51 \quad 10 \quad :=\quad 1+ \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2}+ \frac{10}{60^3}\right)=1,41421296$ .

Na tablete YBC 7289 je nakreslený štvorec so stranou

$\small 30$ a dve čísla:

$\small (1;24,51,10) , (42,25,35)$ . Tie sú zapísané pri uhlopriečke. Zrejme súčin

$\small 30 \times (1;24,51,10) \quad \normalsize {\text{ je presne}} \quad \small (42,25,35)= 0,70710648$ .

Posledné číslo predstavuje dĺžku uhlopriečky

$\small u=\frac{\sqrt{2}}{2}$ v štvorci so stranou

$\small a=\frac{1}{2}$ .

Tablet YBC 7289

Pokúsme sa určiť metódu, pomocou ktorej Babylončania aproximovali uhlopriečku štvorca pomocou hodnoty (42,25,35).

Nasledujúce zdôvodnenie vychádza z práce [BEC, 2003].

Na základe mnohých nájdených hlinených tabuliek usudzujeme, že mezopotámski počtári pravdepodobne vedeli aproximovať druhú odmocninu ľubovoľne zvoleného čísla

$\small A$ , ktoré nie je mocninou prirodzeného čísla. Aproximáciu založili na postupných iteráciách.

Najskôr číslo $\small A$ vyjadrili pomocou vzťahu $\small A = a^2+b$ , kde $\small a,b$ sú prirodzené čísla. Na základe zápisov na Tablete YBC 7289 môžeme tvrdiť, že počtári toho obdobia vychádzali z možnosti vyjadriť číslo $\small A$ ako súčet $\small A = a^ 2 +b$ , kde $\small a, b$ sú prirodzené čísla.
Prirodzené číslo určili tak, aby platilo $\small a^2 < A < (a+1)^2$ , čo pre Mezopotámcov to nebol problém.
Potom $\small \sqrt{A}$ pomocou zaujímavých vzťahov ohraničili zhora takto:
$\small \sqrt{A}= \sqrt{{a^2} + b } \lt\sqrt{{a^2} + b + \frac{b^2}{4a^2}}=a+\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(a+\frac{b}{a}+a\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{a}+a\right)$ .
Zároveň Babylončania vedeli, že číslo $\small A$ sa dá vyjadriť aj pomocou vzťahu $\small A = a^2-b$ a podobnými úpravami dospeli k analogickému ohraničeniu :
$\small \sqrt{A}= \sqrt{{a^2} - b } \lt\sqrt{{a^2} - b + \frac{b^2}{4a^2}}=a-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(a-\frac{b}{a}+a\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{a}+a\right)$ .
Mezopotámski počtári potom pre lepšiu aproximáciu použili iteráciu pomocou metódy priemeru (Základný koeficient iterácií je $\frac{1}{2}$ , preto arotmetický priemer). Viac pozrite v práci (BEC, 2003) kapitola "Matematika ve staré Mezopotámii".
- najskôr určili hodnotu prvej iterácie: $\small a_1 = \frac{1}{2} \left(a + \frac{A}{a}\right)$
- potom určili hodnotu druhej iterácie: $\small a_2 = \frac{1}{2} \left(a_1 + \frac{A}{a_1}\right)$
- atď.

Použime túto metódu na výpočet aproximácie

$\small \sqrt{2}$ .

$\small \sqrt{2} = \sqrt{1 + 1} \approx \frac{1}{2} (2 + 1) = \frac{3}{2} = 1.5,$ čo v šesťdesiatkovej sústave zapisujeme ako

$\small (1;30).$
Ak mezopotámski počtári zobrali ako prvý odhad práve túto hodnotu (túto hypotézu potvrdzuje výpočet na tabuľke YBC 7289), tak dostali hodnotu

$\small a_1 = (1;30) = 1.5.$
Následne mohli vypočítať číslo

$\small \frac{A}{a_1}$ tak, že pomocou recipročných tabuliek (mnohé boli objavené vo forme hlinených tabuliek) našli prevrátenú hodnotu k

$\small (1;30)$ a vynásobili ju číslom

$\small A = 2$ . Prevrátená hodnota je

$\small (0;40)$ , po zdvojnásobení dostali číslo

$\small (1;20)$ .
Po určení aritmetického priemeru čísel

$\small (1;20)$ a

$\small a_1 = (1;30)$ dostali druhý odhad:

$\small a_2 = (1;25) = 1.416.$
V dnešnej terminológii

$\small a_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{2}{\frac{3}{2}}\right)=1.416$
Túto hodnotu možno nájsť na niektorých tabuľkách z druhého tisícročia pred n. l. Ak metódu priemeru použijeme ešte raz, dostaneme aproximáciu

$\small (1;24,51,10) = 1.414212963,$
pričom chyba je už len

$\small 4.2 \times 10^{-5}\%$ .

Poznámky.

V Mezopotámii používali buď hodnotu 1;25 alebo ako 1;24,51,10 pre odmocninu $\small \sqrt{2}$ . Neexistuje však systematický záznam o tom, ako bola hodnota vypočítaná. Metódu, ktorú sme popísali vyššie ako aproximáciu, bola používaná na výpočty v dobe Chammurapiho. Je zapísaná napríklad na tabuľke YBC 7289, ktorá zachytáva vzťah medzi dĺžkou strany a dĺžkou uhlopriečky štvorca.
Jedna možná metóda, pre ktorú existujú nejaké textové dôkazy, vychádza z algebraickej identity $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ . V ďalšej kapitole ukážeme, že takúto identitu Babylončania používali pri riešení niektorých typov kvadratických rovníc.

Cvičenie (Pre žiakov gymnázií).
Pomocou Babylonskej metódy aproximujte

$\sqrt{3}$ . Vykonajte aspoň dve iterácie - prvú a druhú aproximáciu. Používajte zápisy čísel v šesťdesiatkovej sústave.

Výsledok:

$a_1= \frac{7}{4} \approx 1.75; \quad a_2= \frac{97}{56} \approx 1.73214; \quad \sqrt{3} \approx 1.7320508$

$$ .$ $

Sústava rovníc

Sústava lineárnych rovníc.

Sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych vedeli mezopotámski počtári riešiť metódou chybného predpokladu. Táto metóda je pomerne presne popísaná na tablete s označením VAT 8389, pri riešení úlohy o úrode obilia z dvoch polí.

VAT 8389 - hlinená tabuľka je uložená v múzeu starovekého Blízkeho východu v Berlíne.

Úloha (Úroda z dvoch polí - Tablet 8389).
Máme dve polia.

Z plošnej jednotky bur prvého poľa zožneme 4 gur obilia,
z plošnej jednotky bur druhého poľa zožneme 3 gur obilia,
úroda z prvého poľa prevyšuje úrodu z druhého poľa o (8,20) = 500 silá,
súčet plôch polí je (30,0) = 1800 sar.

Aké sú výmery oboch polí?

Súčasná formulácia úlohy

Prvé pole dávalo 4 gury za každý bur (2/3 sila za každý sar),
druhé pole dávalo 3 gury za každý bur (1/2 sila za každý sar),
prvé pole dalo o 500 sila viac ako druhé pole,
súčet plôch polí je 1 bur (1800 sar.)

Aké sú výmery oboch polí?

Poznámky(Miery v Mezopotámii).

"Bur" a "sar" sú jednotky plochy poľa. 1 bur = 1800 sar. Sar má asi 36 metrov štvorcových.
"Gur" a "sila" sú jednotky objemu zrna. 1 gur = 300 sila. Sila má asi 1 liter.
Všimnime si, že jednotky plochy a objemu sú násobkami prirodzeného čísla 6, ktoré je východisko pre 60-kovú číselnú sústavu.

Riešenie (Metóda chybného predpokladu).
V práci [BEC, 2003] je uvedený preklad riešenia zapísaného na VAT 8389. Uvedieme riešenie v súčasnej terminológii. Nech

$\small x, y$ predstavujú výmery uvažovaných polí v jednotkách sar, potom danú úlohu môžeme zapísať ako sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.
(R1)

$\frac{(20,0)}{ (30,0) }.x-\frac { (15,0) }{(30,0)}y= \small (8, 20)$
(R2)

$\small \qquad \; \;x \quad + \quad \; \; y = (30,0)$ .
Babylončania sústavu riešili metódou chybného predpokladu.
Najprv sa vypočíta úroda na jednotlivých poliach za predpokladu, že obe polia majú rovnakú výmeru. V tejto úlohe počtár takmer pred 4000 rokmi použil hodnotu (15,0) sár. Pri takejto voľbe ľavá stran rovnice (R1) bude mať hodnotu:
(R1')

$\small (15,0) \normalsize \left(\frac{(20,0)}{ (30,0) }-\frac { (15,0) }{(30,0)}\right)= \small (10,0)-(7,30)$
Rozdiel úrod na týchto dvoch poliach rovnakej výmery je teda:

$\small (10,0)-(7,30) = (2,30)$ .

Úrody sa však majú líšiť o (8,20), rozdiel úrod pri rovnakej výmere polí je teda o (5,50) menší. Počtár teraz vychádzal z jednoduchej úvahy: na každý sar, o ktorý sa zväčší prvé pole a zmenší druhé pole, sa získa o (0;40) viac úrody na prvom poli a o (0; 30) menej úrody na drahom poli. Rozdiel úrod preto narastie o

$\small (0;40) + (0;30) = (1;10)$ .
Potom počtár vykonal príslušné delenie, tj. našiel, čím je potrebné vynásobiť číslo (1; 10), aby vyšlo číslo (5,50), tj. "chýbajúce" rozdiel úrod. Ľahko zistil, že výsledok je (5,0). Polia teda majú výmera (15,0) + (5,0) = (20,0) a (15,0) - (5,0) = (10,0), čo v našej desiatkovej sústave je 1200 a 600.

Zovšeobecnenie.
Ak máme riešiť rovnicu

$\small x + y = 2h$ ,
kde pre x a y je daná ešte nejaká ďalšia podmienka, potom sa položí

$\small x =h + w, y = h - w$ ,
kde w je nová neznáma.

Metóda **chybný predpoklad** (resp. **falošný predpoklad**).
Jedna z metód používaných v Mezopotámii na riešenie sústav dvoch lineárnych rovníc. Táto metóda bola známa už v starovekej Babylonii (okolo 1800 – 1600 p.n.l.) a využívala heuristický prístup k riešeniu matematických problémov.

Metóda **chybný predpoklad** funguje na základe výberu vhodného (hoci nesprávneho) predpokladu a následnej úpravy výsledku tak, aby bol správny. V kontexte riešenia dvoch lineárnych rovníc počtári v Mezopotámii postupoval nasledovne:

Vybrali si predpokladanú hodnotu jednej neznámej
Dosadili ju do rovníc a vypočítali výsledky.
Porovnali získaný výsledok so správnym a upravili ho pomocou polovičného rozdielu.
Opravený výsledok poskytol správne riešenie.

Využitie metódy v súčasnej školskej matematik.
Táto metóda môže byť v školskom prostredí užitočná na rôzne účely:

Vysvetlenie logického myslenia a heuristiky, pri ktorom žiaci sa naučia skúšať rôzne hodnoty a opravovať riešenie na základe pozorovania.
Výuka základných lineárnych rovníc iným spôsobom. Nie každý žiak chápe algebraické riešenie okamžite, preto môže táto metóda pomôcť vizualizovať proces.
Rozvoj odhadu a práce s pomermi. Učitelia môžu používať túto metódu na vysvetlenie práce s aproximáciou a pomermi v rôznych kontextoch.
Historický pohľad na matematiku. Ukážka babylonských metód môže urobiť hodiny matematiky zaujímavejšie a ukázať, že existujú aj iné prístupy k riešeniu problémov.

Postup:

Zvolíme si chybný (ľubovoľný) predpoklad pre jednu z neznámych (napr. predpokladáme, že $x = a$ ).
Vypočítame druhú premennú zo zadaných podmienok.
Zistíme, o koľko sa výsledok líši od požadovaného výsledku.
Podľa toho upravením pôvodného predpokladu (napr. pomerovou úvahou) hľadáme správne riešenie.

Príklad.(Pre žiakov gymnázií).
Dvaja spolupracovníci spolu zarobili 100 eur. Prvý zarobil o 20 eur viac ako druhý. Koľko zarobil každý?

Riešenie pomocou chybného predpokladu

Chybný predpoklad:
Predpokladajme, že obaja zarobili rovnako – teda po 50 eur.
Skutočnosť:
Ale jeden z nich má mať o 20 eur viac.
Rozdiel v našom predpoklade je $50 - 50 = 0$ , ale má byť 20.
Teda musíme odobrať 10 eur jednému a pridať 10 eur druhému, aby vznikol rozdiel 20 eur.
Opravený údaj:
Jeden zarobil $50 + 10 = 60$ eur, druhý $50 - 10 = 40$ eur.

Odpoveď: Prvý zarobil 60 eur, druhý 40 eur.

$$ .$ $

Kvadratická rovnica

Úloha - problém z tabletu YBC 4663 (Mezopotámia asi 1800 pred Kristom).
Súčet dĺžky a šírky obdĺžnika je

$6\frac{1}{2}$ a plocha obdĺžnika je

$7\frac{1}{2}$ . (Katz, 2009, s. 28) Máme nájsť dĺžku a šírku obdĺžnika.

Pôvodné riešenie.

Pisár podrobne popisuje kroky, ktorými prechádza.

Najprv zníži

$6\frac{1}{2}$ na polovicu, aby získal

$3\frac{1}{4}$ .

Potom odmocní

$3\frac{1}{4}$ a dostane

$10\frac{9}{16}$ .

Od tejto (plochy) odpočítava daná plocha

$7\frac{1}{2}$ , čo dáva

$3\frac{1}{16}$ .

Odmocnina tohto čísla sa extrahuje

$1\frac{3}{4}$ .

Nakoniec pisár poznamená, že dĺžka je

$3\frac{1}{4}$ +

$1\frac{3}{4}$ = 5, zatiaľ čo šírka je

$3\frac{1}{4}$ -

$1\frac{3}{4}$ =

$1\frac{1}{2}$ .

V skutočnosti pozorné preštudovanie riešenia naznačuje, že pisár vychádzal zo vzťahov znázornených na obrázku "Geometrický dôkaz". Keďže podobných problémov je na viacerých tabletoch vyriešených veľa rovnakým spôsobom, môžeme sa domnievať, že v Mezopotánie vedeli riešiť kvadratické rovnice typu

$ax^2+c=bx$ , kde

$a,b,c$ sú kladné (reálne) čísla. Matematický dôkaz, že navrhnutý algoritmus môžeme použiť pre výpočet koreňov akejkoľvek kvadratickej rovnice typu

$ax^2+c=bx$ , zrejme v Mezopotámii nepoznali. Až Al-Chvárizmi podal geometrický dôkaz. Nasledujúca časť interpretuje tento dôkaz a je prevzatá z práce (Katz 2009. str. 23).

Ak podľa súčasnej terminológie označíme

$x + y = b,x \cdot y = c$ , tak

$\frac{b}{2}=x- \frac{x-y}{2}=y+ \frac{x-y}{2}$ , tak zrejme

$(\frac{b}{2} ) ^2$ predstavuje obsah štvorca so stranou

$\frac{b}{2}$ . Obsah tohto štvorca presahuje (je väčší) pôvodný obdĺžnik s plochou

$c=x \cdot y$ o štvorec so stranou

$\frac{x-y}{2}$ . Pozrite si obrázok "Geometrický dôkaz". Po zavedení takéhoto označenia dostaneme

$\large (\frac{x+y}{2})^2=\normalsize x \cdot y + \large(\frac{x-y}{2})^2$ .

Obrázok "Geometrický dôkaz" ukazuje, že ak sa pridá strana tohto štvorca, konkrétne

$\large \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)}$ ( zrejme =

$\small \frac{x-y}{2}$ )

$\frac{b}{2}$ , tak dostaneme dĺžka

$x$ . Ak ju odpočítame od

$\frac{b}{2}$ , dostaneme šírku

$y$ . Algoritmus je teda vyjadrený vo forme

$\large x=\frac{b}{2}+\sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)};x=\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2})^2 - c)}$

Geometrický dôkaz.

Uvedený Al-Chvarizmiho dôkaz je založený síce na algebraickej substitúcii, ale bez geometrickej interpretácie je ťažko pochopiteľný. Ak využijeme dynamický applet Geometrický dôkaz, tak interpretácia tejto historickej úlohy sa stane prijateľnou a zároveň motivujúcou aj pre stredoškoláka.

Al-Khwarizmi - Wikipedia
Vietove vzťahy
Krynický : Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice.

$$ .$ $

Egypt

Egyptská matematika ^[1]

Egypťania už okolo roku 6000 pred n. l. používali merania založené na častiach tela (dlaň, lakeť). Najstarší matematický text zo starovekého Egypta, ktorý pochádza z egyptského stredného kráľovstva okolo roku 2000 - 1800 pred n. l.
Najstarší egyptský skript bol hieroglyf, používaný od roku 3000 pred Kristom. do začiatku nášho letopočtu. Nahradil ho (asi okolo roku 2000 pred Kr.) plynulejší skript nazývaný hieratický, ktorý sa používal na rýchlejšie písanie na papyrus.
Egyptská matematika sa zakladala na desiatkovom systéme a príznačné pre ňu bolo počítanie so zlomkami.

Egyptské hieroglyfy - číslice a nepozičné čísla 3 244 a 21 237.

Písomné doklady o úrovni matematiky „papyrusy“ dokazujú, že staroegyptskí matematici už poznali vzorec

pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti
pre plošný obsah trojuholníka
približný výpočet plošného obsahu kruhu.

Väčšina existujúcich matematických papyrusov je napísaná hieraticky.

Egypťania

Vedeli riešiť lineárne rovnice s jednou i dvoma neznámymi.
Poznali vzorec na výpočet objemov niektorých jednoduchých telies.

[1] JindřichBečvář(author);MartinaBečvářová(author);HanaVymazalová(author):Matematika vestarověku.EgyptaMezopotámie.(Czech).Praha:Prometheus,2003.pp.9–31.

Počtové operácie

Násobenie. Súčin dvoch prirodzených čísel počítali starí Egypťania zaujímavou metódou. Jedného z činiteľov (najčastejšie väčšieho) postupne zdvojnásobovali, prípadne používali aj iné násobky.

Príklad. Vypočítajte súčin

$\small 84 \times 14$

Egyptské riešenie.
Výpočet

$\small 84 \times 14$ na Rhindovom papyruse č. 69 vychádza z egyptskej metódy násobenia, ktorá používala postupné násobenie dvojkou a sčítanie relevantných častí.

Rozklad čísla $\small 14$ pomocou mocnín dvojky. Egyptskí pisári rozkladali čísla ako súčet mocnín dvojky. Číslo $\small 14$ možno vyjadriť ako: $\small 14 = 8 + 4 + 2$
Vytvoríme tabuľku zdvojovania čísla $\small 84$ :

Násobok

Čísla

$\qquad$

Výsledok

1 80 80

2 80 160

4 80 320

8 80 640

Tabuľka: Dvoj-násobky čísla 80, staroegyptské násobenie.

Sčítanie vybraných hodnôt. Vyberieme tie riadky, ktoré zodpovedajú rozkladu čísla $\small 14$ : ( $\small 8 + 4 + 2$ ) a sčítame ich:
$\small 640 \ (\text{pre } 8) + 320 \ (\text{pre } 4) + 160 \ (\text{pre } 2)$
$\small 640 + 320 + 160 = 1176$
Výsledok.
$\small 84 \times 14 = 1120$

Príklad iného zdvojnásobenie kombinovaného s päť-násobkami Tu.Takto Egypťania počítali súčiny bez použitia tabuľky násobenia, iba pomocou násobkov a ich sčítaním.

Delenie. Delenie prevádzali Egypťania podobnou metódou. Deliteľa postupne zdvojnásobovali resp. použili iné vhodné násobky. Postupovali dovtedy, kým z jeho vybraných násobkov nezložili delenca. Napríklad v úlohe (Rhindov papyrus úloha R69) je zachytené delenie čísla 1120 číslom 80.

Príklad. Vypočítajte podiel

$\small 1120 \times 80$

Vytvoríme tabuľku zdvojovania čísla

$\small 84$ :

Násobok	Čísla	Výsledok
1	80	80
2	80	160
4	80	320
10	80	800

Tabuľka: Vhodné násobky čísla 80, staroegyptské delenie.

Sčítanie vybraných hodnôt. Číslo 1120 je súčtom 10-násobku čísla 80 a 4-násobku čísla 80. Preto vyberieme tie riadky, ktoré zodpovedajú rozkladu čísla:

$\small 1120=800+320=10 \times 80+4 \times 80$
Výsledok: 1120 : 80 = 14

Preskúmajme, čo sa stane, keď delenie nie je bezo zvyšku. Táto situácia nás privedie k jednej z najviac prepracovanej metóde egyptskej matematiky. K číselnému oboru, k zlomkom.

Vypočítajte $\small 43 \div 8:= \frac{43}{8}$ .

Ľahko zistíme, že

$\small 40 = 8 + 32$ . Súčtu

$\small 8 + 32$ odpovedá v ľavej časti tabuľky súčet

$\small 1+4 =5$ .Do hodnoty

$\small 43$ nám ešte chýba hodnota

$\small 3$ . K tomu vytvoríme ešte jednu tabuľku (pravá časť) odpovedá súčet:

$\small 1+2= \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$ . Záver:

$\small 43 \div 8=5+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Úloha R21: Súčet $\small \frac{1}{3}+\frac{1}{15}$ doplňte do 1.

Riešenie.

Číslo	Číslo	$\qquad$	Výsledok
$\frac{1}{15}$	15		1
$\frac{1}{15}$	15		1
$\frac{1}{5}$	15		3
$\frac{1}{3}$	15		5
Spolu súčet	$\qquad$	$\qquad$	Výsledok
$2 \times \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+2 \times \frac{1}{3}$			$\frac{1}{15} \times 15= 1$

Tabuľka: Násobky zlomkov, staroegyptské doĺňanie do celku.

Zrejme platí:

$\small 2 \times \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+2 \times \frac{1}{3} =1$ .
Výsledok.

$\small 1-(\frac{1}{3}+ \frac{1}{15})= \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+ \frac{1}{3}$ .

$$ .$ $

Papyrusy

Informácie o egyptskej matematike pochádzajú predovšetkým z doteraz najznámejších papyrusov: z Rhindovho, Kahúnskeho a Moskovského.

Existencia papyrusov s matematickým obsahom (samostatné matematické texty) naznačuje, že už v období XII. dynastie (približne 1994 – 1797 pred Kr.) bola matematika v starovekom Egypte etablovaná ako samostatná disciplína. Zahŕňala operácie s prirodzenými číslami a zlomkami, riešenie rovníc s neznámou, výpočty obsahov rovinných útvarov a objemov telies, ako aj určovanie uhlov, dĺžok a ďalších matematických veličín.

Rhindov papyrus (známy aj pod názvom Londýnsky) bol napísaný pisárom Ahmosem asi v 1650 pred naším letopočtom, ale ktorý je prepisom staršieho papyrusu napísaného za Amenehmeta III z 19. storočia pred n. l. Rhindov papyrus, ktorý obsahuje 84 tematicky zameraných úloh na

algebraické operácie násobenia a delenia, ktoré obsahujú aj rôzne pomocné tabuľky,
manipuláciu so zlomkami, kde sú podrobne uvedené algoritmy na zjednodušovanie zlomkou a na operácie s nimi,
geometriu útvarov a telies spolu s návodmi na výpočet obsahov a objemov,
rôzne úlohy z praktického života Egypťanov.
ukážka úlohy z Rhindovho papyrusu Tu.

Rhindov matematický papyrus, the British Museum Tu.

Moskovský papyrus, ktorého pôvod sa datuje do 18. storočia pred n. l. obsahuje 25 úloh, ktoré sú zamerané na

výpočty plochy polí, výpočet objemov (napr. obilných sýpok).
operácie so zlomkami,
úlohy s aritmetickou a geometrickou postupnosťou.

V Rhindovom papyruse je úloha R40, v ktorej sa pracuje s aritmetickou postupnosťou:
„Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.“ [BEC, 2003]

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse.

Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.

Analyzujte ďalšie úlohy z Rhindovho papyrusu [VYM, 2006], pozri tiež Tu.

R40 - pôvodné riešenie

Poznámka.
Pôvodné riešenie vychádza z predstavy, že jednotlivé porcie chlebov tvoria aritmetickú postupnosť tvaru:

$\lbrace{1, 1+d, 1+2d, 1+3d, 1+4d}\rbrace$
Chybným predpokladom je to, že prvým členom tejto postupnosti počtár explicitne stanovil číslo 1.

Pôvodné riešenie.

Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:

$1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$ .

Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame

$d=5 \frac{1}{2}$ .

Ide teda o postupnosť $2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23$ , ktorej súčet je $60$ .
Číslo $60$ musíme vynásobiť číslom $1 \frac{2}{3}$ , aby sme získali požadovaný súčet $100$ .
Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti.

Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:

$1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}$ ,
ktorej diferencia je

$9 \frac{1}{6}$ . Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:

Chybný predpoklad by sa nahradil neznámou $a$ . Dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:

Jednoduchým výpočtom by sme sa dostali k tomu istému riešeniu.

$$ .$ $

India Čína

Indickí matematici v mnohom predbehli európsku matematiku dokonca o niekoľko storočí.
Už okolo dvoch tisíc rokov pred Kr. vznikli postupy pre výpočet obsahov geometrických obrazcov. Indickí matematici sformulovali obdobu Pytagorovej vety.

Matematický text Súlvasútra (vznikol okolo roku 500 pred Kr.) obsahuje výpočty obsahov a objemov telies.
Zrejme staviteľské umenie viedlo tiež k vypracovaniu náuky o trojuholníkových a štvorcových číslach.
Pri výpočtoch pracovali starí Indovia aj s približnými hodnotami iracionálnych čísel.
Niektoré úlohy riešili na úrovni lineárnych alebo kvadratických rovníc, poprípade k sústavám lineárnych rovníc.
Niektoré typy rovníc vyžadovali výpočet druhej odmocniny, ktoré Indovia počítali iteračnou metódou.

Najstaršie čínske texty pochádzajú z 1. tisícročia pred Kr. V traktáte o meracej tyči sa využíva podobnosť trojuholníkov, Pytagorova veta a operácie so zlomkami.
Zostavili zbierku 246 matematických úloh Matematika v deviatich knihách.

V zbierke sa objavil desiatkový pozičný systém (najstaršia desiatková sústava) a nula (prázdne miesto).
Starí Číňania riešili aj kvadratické rovnice a dokonca aj kubické rovnice.
Bol odvodený vzorec pre objem gule.

Grécko

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l

Gréci vychádzali z matematických poznatkov starého Egypta a Mezopotámie.

Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov)
Matematika sa stáva deduktívnou vedou
Začali matematické tvrdenia dokazovať

Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo.

Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides, Archimedes

Používali desiatkový systém, ktorý ale nebol pozičný.
Gréci mali usporiadaný systém poznatkov o geometrii.
Riešili tri preslávené problémy:

trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly),
zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodné),
kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh).

Vypracujte seminárnu prácu na tému "Zaujímavosti z gréckej matematiky. Použite prácu JAROSLAV FOLTA: DĚJINY MATEMATIKY I

Tháles z Milétu

Tháles (* cca 624 pred Kr. – † cca 546 pred Kr.)

[Famous Mathematicians]
Je považovaný za prvého gréckeho filozofa, za jedného zo siedmich mudrcov.

Bol úspešným kupcom - ovládol obchod s olejom. Navštívil Egypt, Krétu a Babylóniu.

V Egypte nadobudol matematické znalosti, vypočítal výšku pyramíd podľa dĺžky ich tieňov
Pripisujú sa mu dôkazy prvých geometrických viet
Predpovedal zatmenie Slnka v r 585 pred Kr.
Grécka matematika sa od tohto momentu vyvíjala nezvyčajne rýchlym tempom
S jeho menom sa spája príbeh o tom, ako zbohatol predpovedaním počasia počas zberu olív.
Thales sa tiež zapojil do politických záležitostí obrany Anatólijcov proti Perzii.
Vypočítal tiež rovnodennosti a slnovraty za rok.

Tálesove tvrdenia.
V geometrii je mu pripisovaná formulácia najjednoduchších planimetrických poučiek. Pravdepodobne boli len sformulované. Uvádzame najznámejšie jeho tvrdenia.:

Priemer delí kruh na dve polovice.
Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú zhodné.
Ak sa dve priamky pretínajú, tak protiľahlé vrcholové uhly sú zhodné.
Všetky uhly nad priemerom sú pravé (tzv. Tálesova veta).
Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú v dvoch uhloch a strane.

Tháles dobre ovládol pojem podobnosti trojuholníkov a využíval ju nielen na meranie výšky pyramíd, ale aj na zisťovanie vzdialenosti lodí na mori.

Výška pyramídy

Tháles a podobnosť trojuholníkov.

Poznámky.
Dušan Jedinák v práci O starovekých matematikoch uvádza: Egyptský kňaz a mladý Táles z Milétu stáli za slnečného dňa neďaleko pyramídy a uvažovali o určení jej výšky.

Táles sa pousmial: Zmeriam výšku pyramídy.
Kňaz sa nedôverčivo spýtal: Ako?
Ak bude môj tieň práve taký dlhý ako je moja telesná výška, tak v tom okamihu musí merať dĺžka tieňa pyramídy práve toľko, ako je vysoká pyramída.

Jednoduchosť riešenia skrývala matematickú podstatu podobnosti trojuholníkov. Problém však je v tom, že Táles musel čakať na takú polohu slnka na oblohe, aby tieň

$\small \overrightarrow{SP}$ bol rovnobežný so stranou pyramídy

$\small AB$ . Vtedy vedel určiť dĺžku tieňa pyramidy. Ak bod

$\small P$ je inej polohe (obrázok 1) musel by použiť trigonometriu alebo analytickú geometriu.

Obrázok č.1. Vzdialenosť od stredu štvorca. Applet je dostupný Tu.

Cvičenie.
Určte vzdialenosť úsečky

$\small SP$ ako funkciu veľkosti strany štvorca a uhla

$\theta$ . Riešenie Tu.

$$ .$ $

Pytagoras zo Samos

Pytagoras(* cca 569 pred Kr. – † cca 475 pred Kr.)

Pytagoras bol politik, filozof, mysliteľ a matematik.

Pochádzal z ostrova Samos, ktorý je neďaleko Milétu aj Efeze. Neskôr sa presťahoval do Krotónu (Croton) v južnom Taliansku, kde založil filozofickú školu.

Pytagorova škola mala charakter náboženskej školy či sekty.
Z Krotónu boli Pytagorejci vyhnaní.
Pytagoras snáď zomrel v Metapontu.

Pytagoras zohral dôležitú úlohu vo vývoji matematiky, žiaľ vieme pomerne málo o jeho matematických úspechoch.

Na Pytagora mal významný vplyv Tháles

Pytagoras navštívil Thálesa v Milétu, keď mal asi 20 rokov a Táles bol už starý muž.
Na odporúčanie Tálesa Pytagoras navštívil Egypt, kde si prehĺbil vedomosti z geometrie.
V roku 525 pred Kr. Pytagoras bol po Perzskej vojne s Egyptom zajatý a prevezený do Babylonu.
V Babylone mal možnosť zoznámiť sa s rozvinutou babylonskou aritmetikou.
Približne 520 rokov pred naším letopočtom Pytagoras sa vrátil do Samos.

Pytagorova škola

Grécku matematiku podstatne ovplyvnila Pytagorova škola

V Raphaelovej freske The School of Athens je Pythagoras zobrazený ako mladý muž

Pôsobenie Pytagorovej školy malo obrovský vplyv na ďalší rozvoj gréckej matematiky. Pytagorejci presadzovali štúdium kvadrivia - geometrie, aritmetiky, astronómie a hudby.

Pytagorejci číslo 1 považovali za základný stavebný kameň aritmetiky.

Tvrdili, že číslo 1 pochádza priamo od Boha ako základ všetkých ďalších čísel.
Prirodzené čísla 2, 3, 4, 5, ... boli chápané ako súhrny jednotiek.
Pytagorejci považovali číslo 10 (tzv. tetraktýs) za dokonalé, pretože sa skladá zo súčtu prvých štyroch čísel: $\small 1+2+3+4=10$ . Tento princíp sa prejavoval v hudbe (štvorica základných intervalov), v geometrii (štvorcová štruktúra) a v kozme (desať nebeských telies v ich systéme).
Najdôležitejším geometrickým symbolom Pytagorejcov bola tetraktýs – trojuholníkové usporiadanie desiatich bodov:

Tetraktýs
Hoci na prvý pohľad vyzerá ako trojuholník, tetraktýs obsahuje štvorec v strede, ktorý symbolizuje stabilitu.
Kladné racionálne čísla boli predstavované pomocou pomerov prirodzených čísel.

Porovnajte s Peanovou aritmetikou.

Pytagorejci, ktorí pôsobili v 6. – 5. storočí pred n. l., zaviedli čistú matematickú abstrakciu a zovšeobecnenie.

Pre nás je samozrejmý krok od riešenia konkrétnej úlohy
2 lode + 2 lode = 4 lode
k abstraktnému výsledku
2 + 2 = 4,
ktorý sa vzťahuje nielen na lode, ale i na perá, ľudí, domy atď.

Pytagorejci boli jednou z prvých skupín, ktoré začali vnímať matematiku ako systém založený na abstraktných princípoch. Tento koncept sa prejavoval v niekoľkých aspektoch:

Čísla chápali ako princípy reality. Pytagorejci považovali čísla za základ všetkého existujúceho. Napríklad tvrdili, že „všetko je číslo“ a že harmónia sveta je vyjadriteľná číselnými vzťahmi.
Symbolické znázornenie čísel. Používali tzv. figurálne čísla, teda číselné vzory usporiadané do geometrických tvarov (trojuholníkové, štvorcové čísla atď.). Tieto tvary predstavovali symboly pre mohutnosť množín (v dnešnej terminológii kardinálne čísla), čo je veľmi silná forma abstrakcie.

Pytagorejci začali ako prví používať symbolické označenia čísel a uvažovali o číslach bez nutnosti ich fyzického prepojenia s konkrétnymi predmetmi. O princípe abstrakcie svedčia aj historicky doložené artefakty. Konkrétne sú to dochované fragmenty spisov Filoláosa a Archytasa o číslach ako princípe usporiadania vesmíru.

Filoláos a Archytas boli významní Pytagorejci, ktorých myšlienky ovplyvnili vývoj abstraktnej matematiky a filozofie. Hoci ich diela sa nezachovali v celku, vieme o nich vďaka neskorším autorom, ako boli Aristoteles, Platón či Simplikios.

Filoláos z Krotónu (cca 470 – 385 pred n. l.) bol jedným z prvých Pytagorejcov, ktorí sa pokúsili systematizovať učenie svojej školy a je považovaný za autora prvých písomných záznamov o pytagorejskej filozofii. Tvrdil, že čísla nie sú len nástrojom na počítanie, ale tvoria štruktúru sveta. Ako prvý prišiel s konceptom heliocentrizmu – hoci nepopisoval Slnko ako centrum vesmíru, predpokladal, že Zem nie je v jeho strede, ale obieha okolo „ústredného ohňa“.
Archytas z Tarentu (cca 435 – 360 pred n. l.) bol matematik, filozof, štátnik a vynálezca, ktorý sa zaslúžil o vývoj abstraktnej matematiky a mechaniky. Bol priateľom Platóna a významne ovplyvnil jeho myslenie. Archytas rozlišoval medzi aritmetikou (štúdium čísel) a geometriou (štúdium tvarov) a snažil sa ich spojiť do jednej teórie. Zostrojil prvý robot – mechanického vtáka poháňaného parou, čo je považované za prvý známy automat.

Filoláos a Archytas významne prispeli k abstraktnej matematike. Ich myšlienky sa nezachovali priamo, ale ich vplyv možno sledovať v dielach Aristotela, Platóna a neskorších matematických školách. Archytas bol navyše priekopníkom aplikovanej matematiky a mechaniky.

Magickým obrazcom pre Pytagorejcov bol pravidelný päťuholník, v ktorom sa uhlopriečky rozdeľujú v pomere zlatého rezu. Zaujímavá je aj disekcia v päťuholníku, kde sa využíva rozdelenie na 10 zhodných trojuholníkov (pentagon, triangle, tetraktýs).

Otvorte si dynamický applet Tu.

Jednotlivé čísla mali podľa Pytagorejcov osobitný význam a moc.

Pytagoras vyhlásil, že základom súcna¹⁾ je číslo (arithmos). Sú mu prisudzované tieto výroky:

Čo je najmúdrejšie? - Číslo a potom ten, kto dal veciam mená.
Čo je najkrajšie? - Harmónia.
Čo je najmocnejšie? - Myšlienka. ... Číslu sa podobá všetko ²⁾.

Pytagorejci si vytvorili niekoľko kategórií čísel.

Párne čísla boli ženské.
Nepárne mužské.
Číslo 4 predstavovalo spravodlivosť: 2 + 2 = 2 x 2.
Číslo 10 predstavovalo dokonalosť: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

1) Súcno je filozofické označenie. Súcno je to, čo je. Súcno má účasť na bytí, nie je to však bytie samo ako celok.

$$ .$ $

Figurálne čísla

Na znázornenie figurálnych čísel používali hromádku kamenia, ktoré zoskupovali do geometrických útvarov. Takto vytvorili tzv. figurálne čísla.

Trojuholníkové čísla: $\small T_1=1,T_2=3,T_3=6, \cdot \cdot \cdot \rightarrow$ , pričom pre počet prvkov (kamienkov) platí $\small T_n= \frac{1}{2} n(n+1)$ .

Otvorte dynamický applet Tu.
Štvorcové čísla: $\small S_1=1,S_2=4,S_3=9, \cdot \cdot \cdot \rightarrow$ , pričom pre počet prvkov (kamienkov) platí $\small S_n= n^2$ .

Otvorte dynamický applet Tu.
Päťuholníkové čísla

Otvorte dynamický applet →.

Poznámka.
Tento geometrický jazyk umožňoval Pytagorejcom dokazovať tvrdenia, ktoré platia pre ľubovoľné čísla danej kategórie. Dnes to väčšinou zapisujeme vo forme matematickej vety.

Dokážte (Cvičenie pre žiakov SŠ).

Súčet dvoch po sebe idúcich trojuholníkových čísel je číslo štvorcové.
Súčet dvoch (ne)párnych čísel je číslo párne.
Súčet párneho a nepárneho čísla je číslo párne.
Určte počet prvkov (kamienkov) $\small P_n$ čísla je číslo párne

$$ .$ $

Pytagorova veta

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku

$ABC$ , v ktorom prepona má veľkosť

$c$ a odvesny majú veľkosti

$a,b$ platí $c^2=a^2+b^2$ .

Pytagorova veta popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Umožňuje vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho zvyšných dvoch strán. Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu →
Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie. &

Poznámky.

Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:

Veta obrátená k vete Pytagorovej:

Ak v trojuholníku

$ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$ , tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou

$c$ .

Cvičenie.
Dané sú sústredné kružnice

$k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2$ . Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami

$\small k_1, k_2$ a obsahom kruhu nad tetivou

$\small XY$ kružnice

$\small k_1$ , ktorá sa dotýka kružnice

$\small k_2$ . Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Pozri tu). Otvorte si applet Tu.

Pôvodný Euklidov dôkaz: (pozri kurz Planimetria).

$$ .$ $

Euklides

Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika. K zásadnému pokroku v rozvoji geometrie prispeli významní grécki matematici Thales, Pytagoras a Euklides. Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo. Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides.

Eukleides (asi 365 pred. Kr., † asi 280 pred. Kr.) - starogrécky matematik.

Autor diela "Základy" (Στοιχεῖα/Stoicheia, lat. *Elementa*), v ktorom spresnil deduktívne chápanie matematiky, založené na definíciách, axiómach a na vzájomne od seba nezávislých postulátoch. Z Euklidových postulátov je najznámejší piaty:
Bodom v rovine možno viesť len jednu rovnobežku k danej priamke.
Celé dielo Základy pojednáva o:

rovinnnej geometrii,
priestorovej geometrii: napr. Platónove pravidelné telesá,
teórii čísel.

Toto chápanie geometrie platilo až do 19. storočia. Eukleides študoval v platónskej akadémii v Aténach. Neskôr pôsobil v **Alexandrii v Múseion**, kde sa stal vedúcou osobnosťou.

Ukážka z dilela Elementa (zdroj:http://en.wikipedia.org); Kniha II, Návrh 5 - pozrite Tu.

Otvorte si applet Tu. (Aktivujte si navigačný panel.)

V starom Grécku

Bol vytvorený axiomatický systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov). Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad je v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
Grécki matematici začali matematické tvrdenia dokazovať , pričom používali deduktívnu metódu. Pokúšali sa vyriešiť aj tri preslávené problémy

trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodnej)
kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh),

$$ .$ $

Euklidov život

O Euklidovom živote vieme veľmi málo.
Pravdepodobne sa narodil v Aténach okolo roku 340 pre Kr. Patril k žiakom filozofa Platóna.

Za vlády egyptského kráľa Ptolemaia I., ktorý vládol v rokoch 306 – 283 pred n. l., Euklides založil a viedol v Alexandrii matematickú školu, v ktorej vyučoval pod vplyvom Platónovej filozofie aritmetiku, geometriu, harmóniu (teóriu hudby) a astronómiu. Pozrite si prácu [FOL, 2004]

Okolo roku 300 pred n. l. zhrnul vtedajšie geometrické poznatky, obohatil ich vlastnými matematickými výsledkami a usporiadal do znamenitého diela Stoicheia – Základy. Táto práca sa stala jedinou učebnicou matematiky na celé stáročia.

Podľa [J. Itard, *Les livres arithmétique d’Euclide*, Paris, 1962] existujú tri možné hypotézy o existencii Euklida:

Euklides bol historickou postavou, ktorý napísal Základy** a iné práce prisudzované k nemu.
Euklides bol vodca tímu matematikov pracujúcich v Alexandrii**, ktorí napísali knihy pod Euklidovým menom po jeho smrti.
Euklides nebola historická postava.** Práce pripisované Euklidovi boli napísané tímom matematikov pri Alexandrii, ktorí prijali meno Euklides od historického charakteru Euklides Megara, ktorý žil asi 100 rokov skôr.

Poznámky (Historky o Euklidovi).

Stobaeus (grécky etnológ - 5. stor. n. l.) popisuje príbeh o študentovi, ktorý sa opýtal Euklida:
„K čomu mi bude to, čo som sa naučil?“
Na konci hodiny sa Euklides obrátil k študentovmu otrokovi a povedal:
„Daj mu tri pence, lebo je jeho prianím, aby mal zisk zo vzdelania.“
Potom bol študent vylúčený zo štúdia.
“Pane, niet kráľovskej cesty ku geometrii.”
Euklidova odpoveď na žiadosť Ptolemaia I. vysvetliť mu svoje Základy rýchlo a ľahko.

Základy

V Základoch sú vysvetlené základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry.

Celá práca je budovaná podľa jednotnej logickej schémy.

Každá kniha sa začína definovaním – objasnením, názorným popisom všetkých geometrických objektov.
Za nimi nasledujú postuláty – konkrétne vlastnosti geometrických útvarov i axiómy – výpovede o vlastnostiach negeometrických veličín.
Potom sú uvedené matematické vety. s dôkazmi a so všetkými odkazmi na predchádzajúce vety, postuláty a axiómy.

Dielo Základy sa skladá z 13 kníh.

V prvej knihe sa zaoberá trojuholníkmi a rovnobežníkmi, končí dôkazom Pytagorovej vety.
V druhej rozvíja planimetriu.
V tretej a štvrtej knihe pokračuje v planimetrii, zaoberá sa kruhom a mnohouholníkmi.
Piata kniha sa týka náuky o pomeroch.
V šiestej knihe sa venuje otázkam geometrickej podobnosti.
V ďalších knihách podáva výklad teórie čísel, hovorí o prvočíslach a zložených číslach, dostáva sa až k teórii iracionálnych čísel.
V jedenástej, dvanástej a trinástej knihe sa zaoberá stereometriou.

Postuláty (Euklidove axiómy).
V knihe je uvedených päť Euklidových postulátov.

Každými dvoma bodmi možno preložiť priamku.
Každú časť priamky možno neobmedzene predĺžiť.
Z ľubovoľného bodu možno opísať kružnicu s ľubovoľným polomerom.
Všetky pravé uhly sú zhodné.
Bodom neležiacim na danej priamke možno viesť práve jednu rovnobežku s danou priamkou.

Tieto postuláty predpokladajú, že kružidlo a pravítko sú ideálne, majú nekonečnú dĺžku a roztvorenie a tak dovoľujú viesť ideálne priamky alebo kružnice.

V Základoch je dôkaz Pytagorovej vety

Pozrite si pôvodný dôkaz v kurze Planimetria Tu.

Euklides poznal konštrukciu zlatého rezu.

Úloha - ( zlatý rez)
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby obdĺžnik, ktorého jedna strana je celá úsečka a druhá jeden z jej dielov, mal rovnaký obsah ako štvorec nad druhým dielom.
alebo
Rozdeľte úsečku na dve časti tak, aby pomer dĺžok malej časti k veľkej časti bol taký istý, ako veľkej časti k celku.
Výsledok: Pomer veľkostí rozdelených úsečiek je iracionálne číslo 1,618033988...

Český preklad Euklidových základov klikni Tu. , Eukleidovy Základy ve školské matematice - klikni Tu.

Ukážka tvrdení

Medzi asi najznámejšie vlastnosti trojuholníka patria tvrdenia o veľkostiach jeho strán a vnútorných uhloch:

súčet veľkostí ľubovoľných dvoch strán je väčšia ako veľkosť tretej strany - trojuholníková nerovnosť
súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná priamemu uhlu - súčet uhlov sa rovná 180°.

Dôkazy týchto vlastností si vyžadujú pomocné tvrdenia o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka, ktoré v tejto kapitole prezentujeme v originálnej podobe (v slovenskom preklade) ako ich publikoval Euklides vo svojich Základoch. Zároveň uvedieme ich interaktívne dôkazy v prostredí GeoGebra.

Kniha 1 Tvrdenie XVI
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Kniha 1 Tvrdenie XVIII
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.

Dôkaz
Nech

$\small ABC$ je trojuholník a nech strana

$\small AC$ je dlhšia ako

$\small AB$ . Hovorím, že tiež uhol

$\small ABC$ je väčší ako uhol

$\small BCA$ .

Otvorte si applet Tu.

Nech $\small AC > AB$ , odrežme $\small AD=AB$ a veďme $\small BD$ ... T/III, Post.1
A keďže vonkajším uhlom trojuholníka $\small BCD$ je $\small ∢ADB$ , je väčší protiľahlému vnútornému uhlu $\small ∢DCB$ ... T/XVI
Avšak $\small ∢ADB=∢ABD$ , ako aj strana $\small AB=AD$ . $\small ABD$ rovnoramenný
Teda tiež $\small ∢ABD >∢ACB$ ... T/V
Mnohom väčší teda je $\small ∢ABC$ ako $\small ∢ACB$ .

Kniha 1 Tvrdenie XIX
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .

Dôkaz - otvorte si applet Tu.
Nech

$\small ABC$ je trojuholník a nech

$\small ∢ABC >∢BCA$ hovorím, že tiež strana

$\small AC$ dlhšia je ako strana

$\small AB$ .

Pretože ak nie, tak buď $\small AC=AB$ alebo $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ .
Určite nie je (rovné) $\small AC$ s $\small AB$ , lebo rovným by bol tiež $\small ∢ABC$ s $\small ACB$ avšak nie je. (Pozri Tvrdenie V.: Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú rovné.)
Teda $\small AC$ nerovná sa $\small AB$ .
Určite ani $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ lebo aj $\small ∢ABC$ by bol menší ako $\small ACB$ , avšak nie je .
Teda nie je $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ . Ukázalo sa, že však nie rovný. (Spor)

Kniha 1 Tvrdenie XX
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.

Dôkaz

Otvorte si applet Tu.

Kniha 1 Tvrdenie XXIX (Striedavé uhly)
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly

$\small AGH$ ,

$\small GHD$ navzájom rovnaké, vonkajší uhol

$\small EGB$ sa rovná vnútornému opačnému (súhlasnému) uhlu

$\small GHD$ a súčet vnútorných uhlov

$\small BGH$ ,

$\small GHD$ na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom.

Kniha 1 Tvrdenie XXXII (Súčet uhlov trojuholníka) V každom trojuholníku, ak sa jedna zo strán predĺži, tak sa vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných protiľahlých uhlov a súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

$$ .$ $

Archimedes

Archimedes.
Archimedes zo Syrakúz je považovaný za najväčšieho vedca staroveku.

Archimedes bol významný starogrécky matematik, fyzik a inžinier, ktorého objavy položili základy viacerých oblastí vedy:

Matematika: Rozvíjal metódy výpočtu objemu a plochy telies, čím predbehol základné princípy integrálneho počtu.
Fyzika: Preslávil sa princípom vztlaku, známym ako Archimedov zákon, ktorý opisuje vztlakovú silu pôsobiacu na teleso ponorené do kvapaliny.
Mechanika: Skonštruoval viaceré stroje, ako skrutkový čerpadlový mechanizmus (Archimedova skrutka) a vojenské obranné mechanizmy (katapulty, optické zbrane).

Archimedes plne rozvinul Euklidov deduktívny prístup budovania matematickej teórie.

Neexistuje žiadny autentický portrét Archimeda, pretože v staroveku sa jeho podoba nezachovala v realistickej forme. Existuje niekoľko možností, kde je možné nájsť kvalitné vyobrazenia Archimeda:

Historické ilustrácie a rytiny
V niektorých rukopisoch zo stredoveku sa nachádzajú kresby Archimeda, napr. v The British Museum. Zaujímavé sú rytiny Gerarda Mercatora.
Online knižnice a múzeá
Wikimedia Commons: [Pozrite Tu.] ; The Met Museum: [Pozrite Tu.]

Archimedes: vľavo - The British Museum; vpravo - The Met Museum

Jeho vedecké dedičstvo významne ovplyvnilo nielen antickú vedu, ale aj renesančné a moderné myslenie.

V práci (BEC, 2012) sa uvádza:

"O Archimedovom živote nemáme veľa spoľahlivých informácií. Narodil sa v Syrakúzach okolo roku 287 pred Kr., prežil tam takmer celý život a zomrel pri ich dobytí Rimanmi v roku 212 pred Kr. S vládcom Hierónom II. (asi 306–215 pred Kr.) bol pravdepodobne v priateľskom vzťahu."

Heuréka.
Archimedovo heuréka je používané ako stručný a výstižný výraz, ktorý symbolizuje náhlu intuíciu: „Našiel som to, prišiel som na to!

$$ .$ $

Dielo - výber

Archimedovo dielo.
Z Archimedovho diela sa zachovalo trinásť spisov.

Uvedieme najznámejšie z nich.

O rovnováhe alebo ťažiskách rovinných obrazcov, kniha I, II.
O kvadratúre paraboly.
O guli a valci, kniha I., II.
O špirálach.
O plávajúcich telesách, kniha I., II.
Meranie kruhu.
Počítanie piesku.

$$ .$ $

Meranie kruhu

Archimedov práca " Meranie kruhu" sa opiera o

exhaustívnu metódu, s pomocou ktorej Archimedes popísal pomer medzi obvodom a obsahom kruhu,
pomerne presnú aproximáciu konštanty označované dnes ako Ludolfovo číslo $\small \pi$ .

Exhaustívna metóda

V Euklidových Základoch je princíp exhaustívnej metódy vyjadrený v prvej vete 10. knihy. Exhaustívna metóda je systematický spôsob riešenia problémov, pri ktorom sa skúmajú možné prípady pomocou iterácií. Aj keď je metóda spoľahlivá, jej nevýhodou je časová a výpočtová náročnosť pri veľkom počte možností.

Veta (Upravený text Veta1 Kniha X, Základy).
Ak máme veličiny

$\small S, \normalsize\epsilon$ , pričom je

$\epsilon < \small S$ . Ak postupne od

$\small S$ odoberáme veličiny

$\small a,b,c$ , pričom

$\small a > \frac{S}{2}, \quad b > \frac{S - a}{2}, \quad c > \frac{S - a - b}{2}, \quad \dots$
potom je po určitom počte krokov}

$\small S - a - b - c - \dots - k < \varepsilon$ resp.

$\small a + b + c + \dots \to S$ .

Toto je moderná formulácia Eudoxovej exhaustívnej metódy, ktorú používal Eudoxos z Knidu a ktorú využil aj Archimedes pri výpočte obsahov a objemov.
Dôkaz (Pre obsah kruhu

$\small K$ využívaný Archimedom).

Odčítajme od obsahu $\small S_K$ kruhu $\small K$ obsah vpísaného štvorca.
Dostaneme menej ako polovicu obsahu kruhu $\small K$ .

Cvičenie (Pre žiakov gymnázií).
Dokážte toto tvrdenie.

Ak vpíšeme do štyroch vzniknutých kruhových výsekov prirodzeným spôsobom rovnoramenné trojuholníky, odčítame opäť viac ako polovicu obsahu týchto výsekov atď.
Od štvorca tak dôjdeme k pravidelnému osemuholníku, obdobným spôsobom k 16-uholníku atď.

Prvé dve iterácie v Archimedovom dôkaze: Pravidelný 4- uholník a 8-uholník. Otvorte si interaktívny applet Tu.

Ak tento postup dostatočne dlho opakujeme, priblížime sa obsahom pravidelného 2k-uholníka zdola akokoľvek blízko k obsahu kruhu $\small K$ .

Poznámky. (Význam vety a dôkazu)

Veta hovorí o postupnom priblížení k určitej veličine $\small S_K$ tak, že v každom kroku odoberáme viac ako polovicu zostávajúcej hodnoty.
V dôkaze sa táto metóda aplikuje na "obsah kruhu" tým, že postupne vpisujeme pravidelné mnohouholníky s rastúcim počtom strán.
Kľúčová myšlienka: Ak tento postup opakujeme dostatočne dlho, plocha pravidelného mnohouholníka sa môže priblížiť "ľubovoľne blízko" k obsahu kruhu.
Toto je v podstate predchodca moderného pojmu limity a integrálneho počtu.

Archimedov odhad.

Archimedes približne určil hodnotu Ludolfovho čísla

$π$ metódou vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky (vpísané aj opísané) a dospel k odhadu:

$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$
Otvorte si interaktívny applet Tu a nastavte hodnotu na

$\small n=96$ . Teda v desiatkovom zápise:
3,1408 <

$π$ < 3,1429,
čo predstavuje presnosť na dve desatinné miesta. V dnešnej terminológii vpísaných a opísaných regulárnych polygónov dosiahneme tieto hranice až pri hodnote

$\small n=157$ . Otvorte si interaktívny applet "Archimedes_ObsahObvodKruhu_Trivium"-Tu a nastavte hodnotu na

$\small n=157$ .

Historický argument.

Archimedova metóda je popísaná v jeho diele „O meraní kruhu“ (Περὶ τοῦ κυκλίου μέτρου). Toto dielo sa zachovalo len čiastočne, ale jeho hlavná myšlienka sa dochovala v arabských a byzantských rukopisoch. Archimedes využil exhaustívnu metódu, ktorú prevzal od Eudoxa a ktorá je predchodcom infinitezimálneho počtu.
V diele postupne zdokonaľoval svoj odhad

$\small π$ zvyšovaním počtu strán mnohouholníkov, čím získaval čoraz presnejšie hodnoty. Originálny text, nájdete napríklad v:

[HEA] T. L. Heath: The Works of Archimedes (1897) – obsahuje preklady Archimedových spisov do angličtiny.
[BER] J. L. Berggren, J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi: A Source Book (2004) – podrobne opisuje históriu výpočtov π. Niektoré kapitoly tejto práce sú dostupné Tu.

V tejto práci v kapitole " Archimedes. Measurement of Circle" sa popisuje metóda aproximácie aproximácie čísla $\small π$ , ktorú použil Archimedes pri určovaní obsahu kruhu. Archimedes ohraničil hodnotu $\small π$ použitím vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov. Použil 96-uholníky na získanie nasledujúcej aproximácie:

čo v desiatkovej sústave zodpovedá
$3.1408 < \pi < 3.1429.$
Použitie vpísaných a opísaných mnohouholníkov. (Pozrite si prácu (BER, 2004) strana 9 až 14., výber si prezrite Tu.)
Archimedes začal s pravidelným šesťuholníkom vpísaným do kruhu. Postupne zvyšoval počet strán mnohouholníkov a aplikoval vzťahy medzi dĺžkami ich strán a polomerom kruhu. Výpočet prebiehal pomocou rekurentných vzorcov na výpočet dĺžok strán postupne jemnejšie rozdelených mnohouholníkov. Použil nasledovné vzťahy pre polovičné uhly v pravouhlých trojuholníkoch vznikajúcich pri delení strán mnohouholníka (pozrite prácu (BEC,2012) str. 51):
,
kde $\small n$ je dĺžka strany pravidelného $\small n$ -uholníka vpísaného do kruhu. Vo svojich výpočtoch Archimedes využil znalosti gréckej matematiky v oblasti určovania približných hodnôt rôznych iracionálych čísel. Napríklad v Measurement of Circle použil aproximáciu druhej odmocniny čísla 3:
$\frac{\sqrt{3}}{1} =\frac{265}{153}$ ,
ktorá určuje odmocninu z troch až na 4 desatinné čísla.

Výpočty s využitím súčasných znalostí si môžete pozrieť Tu.

$$ .$ $

Kruh - cvičenie

Úlohy pre študentov gymnázií, ktoré ilustrujú geometrické princípy, ktoré Archimedes použil. Tu sú štyri úlohy, ktoré by im mohli pomôcť pochopiť túto metódu:

Určenie obvodu pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu.

Cieľ: Študenti pochopia, ako Archimedes používal mnohouholníky na určenie obvodu kruhu.
Zadanie: Obvod n-uholníka.

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 3$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. Vypočítajte jeho obvod $\small O_U$ ako n-násobok veľkosti strany $\small A_1A_2$ a porovnajte ho s obvodom kruhu, ktorý dnes určíme pomocou vzorca $\small O_k=2 \pi r$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán mnohouholníka (napr. dvanásťuholník, dvadsaťšesťuholník atď.) a opäť vypočítajte obvod.
Určte podiel $\frac{O_u}{2r}$ a porovnajte so známym aproximovanou hodnotou $\small \pi (3,14159)$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Výpočet obsahu vpísaného mnohouholníka.

Cieľ: Získanie predstavy o tom, ako Archimedes odhadoval hodnotu

$\small \pi$ pomocou obsahu vpísaného mnohouholníka.
Zadanie: Obsah štvorca, šesťuholníka a osemuholníka, ktoré sú vpísané do kruhu. Vypočítajte ich obsahy pomocou obsahu stredového trojuholníka

$\small SA_1A_2$ .

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 4$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. $\small S_k=\pi r^2$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán na dvojnásobok ( osemuholník, šestnásťuholník atď.) a opäť vypočítajte obsah.
Porovnajte vaše výsledky so známym výsledkom pre obsah kruhu $\small \pi r^2$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Aplikácia Archimédovej metódy na n-uholníky (všeobecne).

Cieľ: Rozšíriť pochopenie Archimedovej metódy a uplatniť ju na rôzne mnohouholníky.
Zadanie: Vypočítajte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka n-uholník

$\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 6$ ak poznáte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka 2n-uholník

$\small U_2=A_1A_2 \dots A_2n$ .

Otvorte si applet Tu.

Porovnajte vaše výsledky s výsledkom v práci (BEC, 2012) str.51 a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Po vyriešení týchto úloh môžu študenti diskutovať o tom, ako Archimedes začal s jednoduchými mnohouholníkmi a postupne zlepšoval svoj odhad pomocou stále presnejších metód. Týmto spôsobom študenti pochopia aj historický kontext a postupnosť vývoja matematických metód.

$$ .$ $

Literatúra

Odporúčaná literatúra

[BAS] Bašták Ďurán M., (2009). Dejiny nekonečných radov. Diplomová práca, UK Bratislava.
[BEC] Bečvář J., Bečvářová M., Vymazalová H. (2003). Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie. Praha: Prometheus, 2003. ISBN: 80-7196-255-4. Dostupné Tu.
[BEC] Bečvář, J. a kol. (2012). Archimédés. Několik pohledů do jeho života a díla. (Czech). Praha: MATFYZPRESS, 2012. 978-80-7378-228-3. Dostupné Tu.
[EDI] Edice "Dějiny matematiky" založená v roce 1994. Dostupné Tu.
[FOL] Folta, J., (2004). Dějiny matematiky. Národní technické muzeum Praha ISBN 80–239–4031–7. Dostupné Tu.
[JUS] Juškevič A. P. (1997). Dějiny Matematiky ve stredověku. Academia, Praha 1977.
[HOR] Horáčková, A., (2024). Historická okénka v hodinách matematiky na druhém stupni ZŠ. Bakalárska práca. TUL Liberec. Dostupné Tu.
[KAT] Katz, Victor J. (2009). A History of Mathematics An Introduction. University of the District of Columbia. Addison-Wesley, ISBN 0-321-38700-7. Dostupné PDF Tu. Tretia edícia Tu.
[KOl] Kolman A.(1968). Dějiny matematiky ve starověku. Academia, Praha 1968.
[KON] Konforovič, A. G., (1989). Významné matematické úlohy. Praha: SPN, 1989. 208 s.ISBN 80-04-21848-2.
[MAC] Mačák, K., (2001) Tři středověké sbírky matematických úloh. Alkuin, Métrodóros, Abú Kámil. Praha: Prometheus, 2001. 102 s. ISBN 80-7196-215-5. Dostupné Tu.
[MAC] The MacTutor History of Mathematics archive. Dostupné Tu.
[STR] Strečko, V., (2019). Pohľad do histórie matematiky 1. časť. Pravek a starovek. ACADEMIA 2019.
Dostupné 1. časť Tu., 2. časť Tu. 3. časť Tu.
[STR] Struik, D., J., (1969). Dejiny matematiky, Praha:Orbis 1963. Dostupné na www.scribd.com ♠
[VYM] Vymazalová, H., (2006). Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. Český egyptologický ústav FF UK, Praha 2006.ISBN 80-7308-156-3. Dostupné Tu.
[] ...