Pytagoras zo Samos

Pytagorova veta

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku ABC , v ktorom prepona má veľkosť c a odvesny majú veľkosti a,b platí c^2=a^2+b^2 .
Pytagorova veta popisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Umožňuje vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho zvyšných dvoch strán. Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.
  1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
  2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
  3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu → 
  4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
  5. Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie. &
Poznámky.
  1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
  2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
      • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
      • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - \small A a štvrtý na mieste \small C a siedmy na \small B,
      • vznikol pravý uhol \small ABC .
Veta obrátená k vete Pytagorovej:
Ak v trojuholníku ABC platí pre dĺžky strán c^2=a^2+b^2 , tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou c .
Cvičenie.
Dané sú sústredné kružnice k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2 . Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami \small k_1, k_2 a obsahom kruhu nad tetivou \small XY kružnice \small k_1 , ktorá sa dotýka kružnice \small k_2 . Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Pozri tu). Otvorte si applet Tu.
Pôvodný Euklidov dôkaz: (pozri kurz Planimetria).
\( .\)