Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia (Otáčanie).
Nech je daný bod $\small S$, uhol $\alpha$ (veľkosť uhla je nanajvýš 360°) a orientácia kladná (proti smeru hodinových ručičiek) resp. záporná (v smeru hodinových ručičiek). Zobrazenie, pre ktoré platí:

1. obrazom bodu $\small S$ je bod $\small S$,
2. obrazom bodu $\small X \neq S$ je bod $\small X'$, ktorý leží na kružnici $\small k(S;SX)$ a zároveň uhol $\small XSX'$ je zhodný s uhlom $\alpha$, pričom orientácia je kladná, resp. záporná, sa nazýva otočenie ,
3. Bod $\small S$ sa nazýva stred otočenia. Otočenie so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ a kladnou resp. zápornou orientáciou budeme označovať $\small \rho_{S; -\alpha }$.

Z planimetrie vieme, že otáčanie je zhodnostné zobrazenie, preto zachováva dĺžku úsečky. Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Otáčanie $\small \rho_{S; -\alpha }$ so stredom $\small S\left[0,0 \right]$ zobrazuje

Tvrdenie (Transformačné rovnice otáčania okolo počiatku).
Analytické vyjadrenie otáčania so stredom $\small S\left[0,0 \right]$ a uhlom $\alpha$ má maticový tvar
(RO) $\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left( \begin{array}{} \cos \alpha & -\sin α \\ \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right),$
kde $\small \alpha \neq k \cdot 360°$ je uhol otočenia a $\small k$ je celé číslo.

Dôkaz.
Využitím polárnych súradníc a aplikáciou súčtových vzorcov pre funkcie sínus a kosínus, ľahko dokážeme toto tvrdenie. Otvorte si prezentáciu Tu, ktorá prezentuje takýto dôkaz.

V predchádzajúcej kapitole sme stredovú súmernosť vyjadrili ako zložené zobrazenie z troch zobrazení, ktorých transformačné rovnice poznáme resp. ktoré sa ľahko odvodia. Boli to zobrazenia:

• posunutia $\tau_{-v}$ o vektor $-\vec v =(-s_1,-s_2)$,
• stredovej súmernosti $\small \varrho_{S[0,0]}$,
• posunutia $\tau_{v }$ o vektor $\vec{v} =(s_1,s_2)$.

Túto metódu môžeme použiť aj pre otáčanie. Stačí v danom zloženom zobrazení nahradiť stredovú súmernosť otáčaním so stredom $\small S\left[s_1,s_2 \right]$. Potom dostaneme 1. posunutie $\tau_{-u}$ o vektor $\vec u =(-s_1,-s_2)$ určené maticou
$\small \left(\begin{matrix} 1 & 0 & -s_1 \\ 0 & 1 & -s_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$.
2. otáčanie $\small \rho_{S; -\alpha }$ so stredom $\small S\left[0,0 \right]$ dané maticou
$\small \left(\begin{matrix} \cos\left(\alpha\right) & -\sin\left(\alpha\right) & 0 \\ \sin\left(\alpha\right) & \cos\left(\alpha\right) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$.
3. a posunutie $\tau_{u }$ o vektor $\vec u =(s_1,s_2)$ určené maticou
$\small \left(\begin{matrix} 1 & 0 & s_1 \\ 0 & 1 & s_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$.
Otáčanie ako zložené zobrazenie je dané súčinom matíc v danom poradí. Ich postupným vynásobením dostaneme transformačnú maticu otáčania so stredom $\small S\left[s_1,s_2 \right]$:
$\small \left(\begin{matrix} \cos\left(\alpha\right) & -\sin\left(\alpha\right) & s_1-s_1\cos\left(\alpha\right)+s_2\sin\left(\alpha\right) \\ \sin\left(\alpha\right) & \cos\left(\alpha\right) & s_2-s_2\cos\left(\alpha\right)-s_1\sin\left(\alpha\right) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$.
Na základe vyššie popísaných vlastností zložených zobrazení môžeme vysloviť tvrdenie, ktoré popisuje transformačné rovnice otáčania $\small \rho_{S;\alpha}$ so stredom $\small S$ a uhlom $\alpha$ .

Tvrdenie (Transformačné rovnice otáčania okolo stredu $\small S\left[s_1,s_2 \right]$).
Analytické vyjadrenie otáčania so stredom $\small S\left[s_1,s_2 \right]$ a uhlom $\alpha$ má maticový tvar
(ROT) $\small \left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} \cos\left(\alpha\right) & -\sin\left(\alpha\right) & s_1-s_1\cos\left(\alpha\right)+s_2\sin\left(\alpha\right) \\ \sin\left(\alpha\right) & \cos\left(\alpha\right) & s_2-s_2\cos\left(\alpha\right)-s_1\sin\left(\alpha\right) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right),$
kde $\small \alpha \neq k \cdot 360°$ je uhol otočenia a $\small k$ je celé číslo.

Poznámka.
Niekedy sa všeobecné transformačné rovnice otočenia uvádzajú v upravenej podobe:

Príklad.
V rovine je otočenie určené stredom $\small S = [−1; 1]$ a o orientovaným uhlom $\small α = −60°$. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice $\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9$.

Riešenie.
Otočenie v rovine so stredom $\small S = [−1; 1]$ a uhlom$\small α = −60°$ má transformačné rovnice:
$\small x' = (x +1)\cos(-60°) - (y- 1)\sin(-60°)-1 = \frac{1}{2}(x + 1) + \frac{\sqrt{3}}{2}(y - 1)-1= \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$
$\small y' = (x +1)\sin(−60°) + (y -1)\cos(−60°) +1=-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.