Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).

Definícia (Skalárny súčin).
Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie $\small f$ (resp. operáciu $\small "\bullet "$)
$\small \bullet$: $\small V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$
nazveme skalárny súčin na $\small V_n(\mathbb R)$, ak pre každé $\small \pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small {V ,r \in \mathbb R }$ sú splnené tieto podmienky:

1. $\small \pmb a \bullet \pmb b = \pmb b \bullet \pmb a$
2. $\small (\pmb a+\pmb b) \bullet \pmb c=\pmb a \bullet \pmb c + \pmb b \bullet \pmb c$
3. $\small (r.\pmb a) \bullet \pmb b = r (\pmb a \bullet \pmb b)$
4. pre každý vektor $\small \pmb a \neq \vec 0$ je $\small \pmb a \bullet \pmb a > 0$.

Poznámky.

1. Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
2. Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitná. Viac o matici skalárneho súčinu Tu.
3. Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
4. Takto definovaný skalárny súčin sa často v literatúre označuje ako vážený skalárny súčin.
5. Pre skalárny súčin na reálnom priestoresa okrem označenia $\small \pmb a \bullet \pmb b$ používa aj označenie ako:
   • symbol pre funkciu $\small f(\pmb a , \pmb b)$ ako zobrazenie $\small V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$,
   • symbol pre násobenie $\small \pmb a . \pmb b$,
   • alebo jednoducho ako usporiadaná dvojica $\small (\pmb a , \pmb b)$.

Definícia.
Definícia normy a uhla vektorov

1. Norma vektora
   Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small f(\pmb a , \pmb b)$. Normou vektora $\small \pmb v ∈ V$ rozumieme číslo:
   $\small ∥\pmb v∥ = \sqrt{f(\pmb v,\pmb v)}$.
   Inak povedané, norma vektora je odmocnina zo skalárneho súčinu tohto vektora samého so sebou.
   Vektor $\small \pmb v ∈ V$ sa nazýva normovaný (jednotkový), ak platí $\small ∥\pmb v∥ = 1$.
2. Vektory $\small \pmb u, \pmb v ∈ V$ sú ortogonálne (na seba kolmé), ak ich skalárny súčin je rovný nule (nulovému prvku telesa $\small \mathbb R$ ).

1. Uhol vektorov
   Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small f(\pmb a , \pmb b)$. Uhlom nenulových vektorov $\small \pmb u, \pmb v ∈ V$ rozumieme číslo $\small φ$, pre ktoré platí:
   $\cos φ = \large {\frac{f(\pmb u,\pmb v)}{\|\pmb u\| \|\pmb v\|}}$,
   kde $\small 0 ≤ φ ≤ π$.

Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore $\small V_3(\mathbb R)$ je zavedený nasledovne. Ak $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3]$, tak
$\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3$
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
$(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.$

Cvičenie.

1. Ukážte, že operácia $\small f$ definovaná na $\small \mathbb R^3$ takto:
   $\small f(\pmb x , \pmb y) = x_1 y_1+x_2 y_2+x_2 y_3+x_3 y_2+2x_3 y_3$.
   pre $\small \pmb x = [x_1, x_2, x_3], \pmb y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$ spĺňa podmienky skalárneho súčinu.
2. Overte, či sú vektory $\small \pmb x = (1,-3,2), \pmb y = (2,1,-1)$ ortogonálne.
3. Určte ortogonálny doplnok podpriestoru $\small W = \{(1,2,-1)\}$. Ortogonálnym doplnkom podpriestoru $\small W$ priestoru $\small V$ je množina všetkých vektorov z $\small V$, ktoré sú kolmé na všetky vektory z $\small W$.

Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3$ do definície skalárneho súčinu, ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené. Pozrite si riešenie Tu.

Veta (Ďalšie vlastnosti skalárneho súčinu).

Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom, nechaj $\small \pmb u, \pmb v, \pmb w \in V ,c \in \mathbb R$. Potom

1. $\small \pmb w . (\pmb u+\pmb v) = \pmb w . \pmb u+ \pmb w . \pmb v$. Dokážte toto tvrdenie.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí aj zovšeobecnený distributívny zákon.
2. $\small \pmb u.(r.\pmb v) = r.(\pmb u.\pmb v)$
3. $\small 0.\pmb u = 0$. Dokážte tieto tvrdenia.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí $\small \pmb u.\pmb u = 0 \Leftrightarrow \pmb u = \pmb 0$.

Veta (Určenie euklidovského skalárneho súčinu).
Nech $\small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle$ je ortonormálna báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)$ sú súradnice vektorov $\small \pmb a,\pmb b$ v báze $\small B$. Potom
$\small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)$.

Dôkaz.
Nech  $\small \pmb a = (a_1\pmb u_1+ a_2.\pmb u_2+ . . . +a_n\pmb u_n), \pmb b = (b_1\pmb u_1+ b_2.\pmb u_2+ . . . +b_n\pmb u_n)$ sú súradnice vektorov v báze $\small B$. Definujme euklidovský skalárny súčin ako súčin mnohočlenov
$\small {(\pmb a,\pmb b) =\\=a_1.b_1\pmb u_1\pmb u_1+ a_1.b_2\pmb u_1\pmb u_2+ . . . +a_1.b_n\pmb u_1\pmb u_n+\\ +\;a_2.b_1\pmb u_2\pmb u_1+ a_2.b_2\pmb u_2\pmb u_2+ . . . +a_2.b_n\pmb u_2\pmb u_n+\\ +\;... \\ +\;a_n.b_1\pmb u_n\pmb u_1+ a_n.b_2\pmb u_n\pmb u_2+ . . . +a_n.b_n\pmb u_n\pmb u_n}$.

Využitím symetrie, distributívnosti a linearity skalárneho súčinu, vzťahov  $\small \pmb u_i.\pmb u_j = 0 ,i \neq j$;$\small \;\;\pmb u_i.\pmb u_i = 1$ a využitím komutatívnosti, distributívnosti násobenia a sčítania reálnych čísel dostaneme požadovaný výsledok.

Vektorový priestor $\small V_n(\mathbb R)$ s vyššie definovaným skalárnym súčinom nazývame Euklidovský (vektorový) priestor

Riešené príklady - $\small \TeX$ prezentácia Tu. ZIP súbor si stiahnite Tu. Formulár prezentácie "Beamer" nájdete Tu.  Riešený príklad MON 2.1.7 Tu.