Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Pri syntetickom prístupe v geometrii sme vychádzame z euklidovského priestoru podľa Euklidových Základov, v ktorom sa základné geometrické útvary (bod, priamka) nedefinovali. Vedeli sme jednoznačne rozhodnúť o pravdivosti výrokov typu: Bod patrí alebo nepatrí danému útvaru. Tento prístup z matematického hľadiska predstavuje zásadný problém: Nevieme jasne zadefinovať, čo je to (bodová) množina.

V predchádzajúcich kapitolách (podobne tomu bolo aj historicky vo vývoji geometrie) boli zavedené základné pojmy:

1. vektor ako prvok vektorového priestoru (štruktúry s predpísanými binárnymi operáciami)
2. štandardná báza $\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}$ vektorového priestoru $\small \mathbb R^n$
3. súradnice vektora $\pmb v=(v_1,v_2,...,v_n)$ v štandardnej báze, pričom zrejme platí
   $\small {(v_1,v_2,...,v_n)}=v_1 \cdot (1,0,...,0) \oplus v_2 \cdot (0,1,0,...,0) \oplus v_n \cdot (0,0,...,1)$,

V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu $\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}$, ktorej vektory sú navzájom kolmé a majú jednotkovú dĺžku. Takejto báze tiež hovoríme ortonormálová báza.
Súradnice $\small w_1,w_2, ...,w_n$ pevne zvoleného vektora $\small \pmb w$ v danej báze $\small \mathcal{B}=\lbrace{\vec{b_1},\vec{b_2}, ...,\vec{b_n}}\rbrace$ zapisujeme pomocou dolného indexu
$\small {(w_1,w_2,...,w_n)}_{\mathcal{B}}=w_1 \cdot \vec{b_1} \oplus w_2 \cdot\vec{b_2} \oplus ...\oplus w_n \cdot \vec{b_n}$.
Tieto pojmy nám umožňujú zaviesť afinný priestor axiomaticky pomocou vektorového priestoru.

Definícia (Afinný priestor).
Afinný priestor $\small \mathbb A$ nad poľom $\small \mathbb R$ je trojica $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$, kde

1. $\small \mathcal{A}$ je množina bodov.
2. $\small \mathbb V$ je vektorový priestor nad poľom $\small \mathbb R$.
3. $\small f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathbb V$ je zobrazenie s vlastnosťami:
   (AP1) $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=f(X,Z)$
   (AP2) $\small \exists P \in \mathcal{A};\; f_P :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P,X)$
   je bijektívne zobrazenie.

Obr. Vektory a body roviny $\small \mathbb E_2$. Applet si aktivujete Tu.

V definícii afinného priestoru sme použili označnie $\small f(X,Y)$, ktoré sa najčastejšie vyskytuje odbornej literatúre. Toto označenie často nahradíme aj označením, ktoré sme používali v teórii vektorových priestorov $\small \overrightarrow{XY}$. Teda $\small f(X,Y) := \small \overrightarrow{XY}$.

Pozrite si ukážky afinných priestorov Tu.
Podrobne preskúmajte afinný priestor, v ktorom

• množina bodov je množina všetkých usporiadaných dvojíc  $\small [x,y] \in R^2$,
• vektorový priestor je grupa $\small V_2(\mathbb R)$ všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel s operáciou sčítania dvojíc "po zložkách",
• zobrazenie z množiny $\small f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathbb V$ je dané vzťahom $\small f: f([x_1,y_1],[x_2,y_2]) = (x_2 − x_1,y_2 − y_1)$.

Príklad.
Dané sú množiny (červená)
${\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace$,
množina (modrá)
${\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace$
a zobrazenie $f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)}$ je odčitovanie trojíc reálnych čísel po zložkách.
Dokážte, že $\small ( \mathcal{A}, V, f)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. Dynamický obrázok Tu.

Riešenie.
Pre ľubovoľný bod $\small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A}$ platí, že $\small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)$.

1. Podmienka (AP1): zo vzťahov
   $\small f(X,Y)=\left [x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \right ] =\left [ x_1-y_1,x_2-y_2, \frac{1}{2} \left\{(x_1-y_1 )+(x_2-y_2 ) \right\} \right ]$
   $\small f(Y,Z)=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2,y_3-z_3 \right ]=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2, \frac{1}{2} \left\{(y_1-z_1 )+(y_2-z_2 )\right\} \right ]$
   dostávame
   $\small f(X,Z)=\left [ x_1-z_1,x_2-z_2, \frac{1}{2} ((x_1-z_1 )+(x_2-z_2 )) \right ]$,
   čo bolo treba ukázať.
2. Podmienka (AP2):
   Nech $\small P=[p_1,p_2, \frac{1}{2} (p_1+p_2+5)]$ je pevne zvolený bod a $\small X=[x_1,x_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)]$, $\small Y=[y_1,y_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)]$ sú ľubovoľné dva rôzne body. Potom je $(x_1 \neq y_1 )∨(x_2 \neq y_2 )$ a zrejme aj pre obrazy
   $\small f(P,X)=\left [p_1-x_1,p_2-x_2,\frac{1}{2} ((p_1-x_1 )+(p_2-x_2 )) \right ]$
   $\small f(P,Y)=\left [ p_1-y_1,p_2-y_2,\frac{1}{2} ((p_1-y_1 )+(p_2-y_2 )) \right ]$
   platí, že sú rôzne. Teda zobrazenie je bijektívne.
   
   Dôkaz, pre podmienku (AP2') nájdete v práci Afinné transformácie na strane 7. Pozrite tiež Príklad 2 na strane 8.

Pozrite si riešené príklady afinných priestorov zo  zbierky Monoszová : Úloha 1.2.1. b, Úloha 1.2.5. b.

Poznámky.
Dimenzia (alebo rozmer) afinného priestoru je číslo, ktoré je dimenziou jeho zamerania (dimenziou vektorového priestoru  $\small V$). Afinný priestor dimenzie 0, 1, 2 budeme v poradí nazývať bod, priamka, rovina.

Definícia.
(n-1)-rozmerný podpriestor n-rozmerného afinného priestoru $\small \mathbb A$ nazývame nadrovina priestoru $\small \mathbb A$.

Poznámky.
Ak $\small X, Y, Z, A, B,$ sú body afinného priestoru $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$, tak ľahko nahliadneme platnosť nasledujúcich tvrdení

1. $\small \overrightarrow{XX} = \vec{o}$
2. $\small \overrightarrow{XY} = -\overrightarrow{YX}$
3. $\small \overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AY} \Rightarrow X = Y$
4. $\small \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{YB} \Rightarrow X = Y$
5. $\small \overrightarrow{XZ} = \vec{o} \Rightarrow X = Z$.

Dôkazy (predchádzajúce tvrdenia).

1. Podľa (A1) a (A2) platí $\small \overrightarrow{PX} + \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{PX}$, odkiaľ $\small \overrightarrow{XX} = \vec{o}$.
2. $\small \vec{o} = \overrightarrow{XX} = \overrightarrow{XP} + \overrightarrow{PX}$, čiže $\small \overrightarrow{XP}$ je inverzný prvok k prvku $\small \overrightarrow{PX}$  v grupe $\small (V,+)$. Odkiaľ dostávame: $\small \overrightarrow{XP} = -\overrightarrow{PX}$.
3. Vyplýva priamo z (A2) - bijekcia.
4. Ak $\small \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{YB}$, potom $\small -\overrightarrow{XB} = -\overrightarrow{YB}$, teda $\small \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{BY}$ a vzhľadom na (3) $\small X = Y$.
5. Nech $\small \overrightarrow{XZ} = \vec{o}$. Pretože aj $\small \overrightarrow{XX} = \mathbf{o}$, tak $\small \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{XX}$, odkiaľ podľa (3) $\small X = Z$.

Pripomeňme, že vo vektorovom priestore sme tiež používali termín "bod" v súvislosti s viazaným vektorom $\small \pmb u=AB$, teda len v súvislosti s vektorovým priestorom $\small V_n(\mathbb R)$. V tomto vektorovom priestore voľný vektor $\small \pmb u$ predstavoval usporiadanú $\small n$-ticu reálnych čísel. Začiatok voľného vektora ("bod") mal súradnice (0,0, ..., 0) a koncový "bod" voľného vektora $\small \pmb u$ mal súradnice zhodné so súradnicami daného vektora v štandardnej báze resp. so súradnicami bodu $\small B':\overrightarrow{OB'} ≅\vec{AB}$. Vektor sme interpretovali ako posunutie, pohyb. Intuitívne sme používali aj súčet
$\small O + \pmb u; \;A+ \pmb u$,
ktorý vo vektorovom priestore nie je definovaný (načrtnite si obrázok). Avšak v afinnom priestore to už budeme vedieť definovať. Takýto súčet predstavuje posunutý bod $\small A$ o vektor $\small \pmb u$ a v súlade s tvrdením Rozdiel bodov platiť: $\small \pmb u= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}:=B-A$

Tvrdenie (Existencia referenčného afinného bodu).
V afinnom priestore $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ platí vlastnost’ (AP2) pre ľubovoľný pevne zvolený bod $\small P'$, t.j. $\small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X)$ je bijektívne zobrazenie. Body $\small P,P'$ nazývame referenčné afinné body.

Dôkaz. Stačí si uvedomiť, že $\small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X))$.

Tvrdenie (Rozdiel bodov).
Každými dvomi bodmi afinného priestoru je určený vektor, ktorý je daný ako rozdiel vektorov $\small \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. Bod $\small O$ je ľubovoľný referenčný bod. Pozrite so obrázok "Vektory a body roviny".

Dôkaz (bez súradnicového systému).
Nech $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. V afinnom priestore je zavedená operácia $\small f$, ktorá každým dvomi bodmi $\small A, B \in \mathbb A$ priraďuje vektor $\small \overrightarrow{AB} \in V$. Táto operácia má nasledujúce vlastnosti:

1. Vektor medzi dvoma bodmi je dobre definovaný (AP2), teda existuje zobrazenie
   $\small (A, B) \mapsto \overrightarrow{AB} \in V$,
   ktoré je také, že pre každý pevný (referenčný) bod $\small A$ je zobrazenie $\small B \mapsto \overrightarrow{AB}$ bijektívne zobrazenie z množiny bodov $\small \mathbb A$ do vektorového priestoru $\small V$. 
2. Existencia afinného bodu ako referencie.
   Nech je $\small O$ ľubovoľný pevný bod v $\small \mathbb A$ (nepotrebujeme ho interpretovať ako začiatok súradnicového systému, stačí, že existuje). Potom pre každý bod $\small A \in \mathbb A$ existuje jednoznačný vektor $\small \overrightarrow{OA} \in V$, ktorý reprezentuje jeho afinnú polohu voči $\small O$.
3. Vyjadrenie vektora medzi bodmi pomocou "rozdielu" bodov. 
   Keďže $\small \mathbb V$ je vektorový priestor, tak  $\small (\mathbb V,+)$ je Abelova grupa. Z vlastnosti (AP1) a z vlastností grupy bude pre ľubovoľné vektory určené bodmi  $\small A, B, O \in \mathbb A$ splnená implikácia: 
   $\small \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}.$
   Stačí si uvedomiť, že $\small \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{OB} ,\overrightarrow{OA}$ sú vektory, pre ktoré platia grupové operácie sčítania, inverzného (tj. opačného) prvku, ... Preto uvedený rozdiel vektorov $\small \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ je dobre definovaný vo $\small V$. Keďže výber bodu $\small O$ je ľubovoľný, vidíme, že $\small \overrightarrow{AB}$ závisí iba od bodov $\small A$ a $\small B$, nie od voľby referenčného bodu.

Záver.
Ukázali sme, že operácia priradenia vektora dvom bodom je jednoznačne daná ich „rozdielom“, ktorý je chápaný v zmysle vektorového priestoru $\small V$. Definitoricky môžeme písať $\small B-A := \overrightarrow{AB}$. 

Poznámky. 
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto: 
(AP2') $\small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V$ existuje práve jeden bod $\small P \in \mathcal{A}$ taký, že $\small \overrightarrow{PX} =\pmb u$.
(AP2'') $\small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V$ taký, že $\small Y=X + \pmb u$.
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel $\small \mathbb R$. 

Cvičenie.
Zistite, či usporiadané trojice $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ sú afinným priestorom.