Afinná geometria
Afinný n-rozmerný priestor
Lineárna súradnicová sústava
Poznámky
Uvedieme základné definície z práce (Monoszová, 1), v ktorých sa pomocou bázy vektorového priestoru zavádza repér afinného priestoru a (lineárna) afinná súradnicová sústava. Súhrnne sa pre tento systém používa označenie: afinný súradnicový systém.
Definície.
- Nech
je afinný priestor a
je ľubovoľný bod tohto priestoru. Ďalej nech
je báza (nie nutne ortonormálna) vektorového priestoru
. Potom
-tica
sa nazýva repér afinného priestoru
.
- Nech
je afinný priestor, nech
je repér v
. Lineárna súradnicová sústava (stručne LSS) je bijektívne zobrazenie
pričom. Pozrite si prácu (str. 8-11) Tu.
Dôkaz korektnosti definície.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
.
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod
a vektor
existuje práve jeden bod
. Preto aj bod
vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sa dá jednoznačne vyjadriť ako kombinácia
.
Rovnosť
skrátene zapisujeme ako
a
-ticu
nazývame súradnicami bodu
. Súradnice bodu budeme zapisovať v hranatých zátvorkách
.
Vektor, ktorý určuje lineárna kombinácia
sa nazýva polohový
vektor
.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
![\small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6be969bedc7e7ee8a90b3b39f57dae4a.png)
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d7f42f0e514364380af557ef93a320b.png)
![\small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b3d193612d65b9fd46e8f64f89c939d4.png)
![\small P=O+ \vec{u} \small P=O+ \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5feb6b1f0a11d1671a49645656de9f81.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n} \small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81e82bb93425550bce895eca45c6dec1.png)
Rovnosť
![\small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51201cb1baa9b085017f8e6f298ddaa1.png)
![\small P = [p_1,p_2, . . . , p_n] \small P = [p_1,p_2, . . . , p_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd3bff3cdd6edb7bc37b5e2308304fc3.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1f8cbf7dfb29c046ac9a098bb0e53a2.png)
![[\small p_1,p_2, . . . , p_n] [\small p_1,p_2, . . . , p_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc0298f4a320aad14ca87bd805d6a0ec.png)
nazývame súradnicami bodu
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d1cfc6d7d6102ae06298b17a24ae54e.png)
![\pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] } \pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8be3a9e49438bc054ad1d97cb87bcdc4.png)
![\small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e237efe04520c3c0e98e8d400d3cd8d8.png)
![\small \overrightarrow{OP}=P-O \small \overrightarrow{OP}=P-O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e5c7a02896792c8898fb12ed6b2c405.png)
Existencia a jednoznačnosť súradníc bodu
vyplýva tiež z jednoznačného riešenia rovnice,
,
keďže vektory
tvoria bázu vektorového priestoru
.
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d1cfc6d7d6102ae06298b17a24ae54e.png)
![\small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n} \small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/716dbd8bc993533daa6b9f868b6b5143.png)
keďže vektory
![\small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n} \small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e2c35bc6aaf85cc253ccfd88c131b00.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c39e7f7742d8f0e61e0309981a6a9761.png)
Pomenovania .
Cvičenie.
Ukážte, že usporiadaná trojica
je afinný priestor, ak
. Zistite. či zobrazenie
je lineárna sústava súradníc.
Ukážte, že usporiadaná trojica
![\small (\mathcal {A} , V,f) \small (\mathcal {A} , V,f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2f021b2d9b481559e1ab9c754263e47.png)
![\small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1 \small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b51468f45ac88b2ac91fe89d74d4074.png)
![\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1 \small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d08ad3901ed89daea6bc657e89a5dec3.png)
Riešenie.
- Ľubovoľný bod
afinného priestoru má súradnice
. Množina všetkých bodov afinného priestoru
je parabola (nakreslite graf v GeoGebre).
- Podmienka (AP1) pre body
zrejme platí, lebo
.
- Podmienka (AP2): Zvoľme si ľubovoľné reálne čísla
a body
, potom zobrazenie
je bijekcia.
- Zrejme aj zobrazenie
je bijektívne, preto je LSS.