Afinná geometria
Zhodnostné zobrazenia
Otáčanie
Otáčanie je afinné zobrazenie určené stredom otáčania a uhlom otáčania. Analytické vyjadrenie má maticový tvar
(2)
kde
je uhol otočenia a
je celé číslo. Napríklad otočenie o orientovaný uhol
okolo
počiatku má analytický predpis
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} \cos \alpha & \sin α \\ - \sin α & \cos α \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e56bd1e659ff5cd14efd097e2e2b72c5.png)
kde
![\small \alpha \neq k \cdot 360° \small \alpha \neq k \cdot 360°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5896ba118d0d26562242af4b83ef56d0.png)
![\small k \small k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b05aac4b8e5187e600ab0de41c0b1a8b.png)
![\small \alpha = +90° \small \alpha = +90°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4c63714280b55d3d89238b1fed6a1029.png)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right), \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 0 & 0\end{array} \right),](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e36b8561f8e3ee19a91a8298bf2737e5.png)
Tvrdenie
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Otočenie v rovine je afinné zobrazenie a zároveň je zhodnostné. Dokážte to.
Príklad
V rovine je otočenie určené stredom
a o orientovaným uhlom
. Určite jeho transformačné rovnice a obraz kružnice
.
V rovine je otočenie určené stredom
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small α = −60° \small α = −60°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f299aca5e01ff97812a92291d0165d12.png)
![\small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9 \small (x + 2)^2 + (y − 2)^2 = 9](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5defaeb85d945b272024944135bc4f16.png)
Riešenie
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
dosadíme do vzťahu (2 dostaneme rovnice
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
, ktorý je samodružný.
Riešením je bod
.
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
do transformačných rovníc. Polomer kružnice sa v zhodnom zobrazení nemení a bude rovný
. Zostrojte obraz kružnice v GeoGebre pomocou nástroja "Množina bodov" v applete Tu.
Musíme určiť obraz počiatku súradnej sústavy. Súradnice bodu
![\small O' = [p,q] \small O' = [p,q]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6e3ae7aa8eed85755323e42a70d98402.png)
![\small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q , \small -1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ p\\ \small \;\;1=\;\;\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+q ,](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89bcb091d70c8f43dd40a9c5c8551595.png)
pričom využijeme skutočnosť poznáme vzor a obraz stredu
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
Riešením je bod
![\small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}] \small O' = [\frac{-1-\sqrt{3}}{2}; \frac{1-\sqrt{3}}{2}]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9ab3384edd44c065d24163885cb44633.png)
Obraz kružnice určíme tak, že vypočítame súradnice obrazu stredu kružnice dosadením
![\small S = [−1; 1] \small S = [−1; 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/29133975b65446dd0b21e48795ced112.png)
![\small r=3 \small r=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02ee3d5c6d96590bc25da997485889c1.png)