Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Zhodnostné zobrazenie v rovine Osová súmernosť - ukážka

Osová súmernosť určená troma bodmi.

1. Na určenie transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ budeme potrebovať obrazy troch rôznych bodov a ich obrazy v danej osovej súmernosti.
   Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva rôzne samodružné body a nejaký tretí bod tak, aby všetky tri boli nekolineárne. Takými bodmi pri takto danej osi súmernosti sú napríklad
   1. dva body na osi súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$, pre ktoré platí $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť;
   2. a tretí bod nech je počiatok súradnej sústavy $\small O=[0,0]$. Súradnice $\small p,q$ jeho obrazu $\small O'=[p,q]$ určíme napríklad pomocou "Matrix calculator":
      $p=\frac{-2ac}{a^2+b^2}; \; q=\frac{-2bc}{a^2+b^2}$.
2. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A'=[0,\frac{-c}{b}],B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahov
   $\small X' = aA+bB+cP \\ Y'=aA'+bB'+cP'$
   pričom musí platiť
   $\small a+b+c=1$.
   Dostaneme sústavu troch rovníc a využitím Matrix calculator dostaneme riešenie
   $x'=\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{2ab}{a^2+b^2} \right) y-\frac{2ac}{a^2+b^2}\\\\ y'=\left(-\frac{2ab}{a^2+b^2} \right) x\;-\;\;\left( \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \right)y-\frac{2bc}{a^2+b^2}.$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}],A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme
$x'= \;\;\frac{3}{5}  x-\; \frac{4}{5}  y+\frac{4}{5}\\\\ y'=-\frac{4}{5}  x-\;\frac{3}{5} y+\frac{8}{5}$
Geometrická interpretácia Tu.

Pri určovaní transformačných rovníc osovej súmernosti určenej osou súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0$ môžeme s výhodou použiť obraz súradného repéra
$\small \left\langle O', \vec e'_1=\overrightarrow{O'E'_1},\vec e'_2=\overrightarrow{O'E'_2}\right\rangle.$
Postupne nájdeme:

1. Obraz počiatku súradnej sústavy $\small O'=[p,q]$, ktorý určíme ako bod súmerný k bodu $\small O=[0,0]$. Ten určíme pomocou priesečníka $\small R=o \cap k$ priamky $\small k$ kolmej na priamku $\small o$, ktorá prechádza bodom $\small O$. Najskôr určíme
   • súradnice vektora $\small \vec v = R−O$.
   • súradnice bodu $\small O'=[p,q]$ môžeme spočítať ako $\small O'=O+2\vec v$, pretože vektor $\small \vec v = R−P$ je normálový vektor priamky $\small o$ a určuje vzdialenosť bodu $\small O=[0,0]$ od priamky $\small o$.
2. Na určenie transformačných rovníc potrebujeme ešte aspoň dva rôzne body a ich obrazy v danej osovej súmernosti. Najvýhodnejšie bude ak si zvolíme dva samodružné body. Takými bodmi sú ľubovoľné dva body na osi súmernosti $\small o: \; ax+by+c=0, \;a,b \neq 0$.
3. Zvoľme si $\small A=[0,\frac{-c}{b}]$ a $\small B=[\frac{-c}{a},0]$, prípad ak jeden z koeficientov $\small a,b$ je rovný nule sa rieši zvlášť.
4. Potom dosadíme súradnice obrazov $\small O'=[p,q],A'=[0,\frac{-c}{b}],B'=[\frac{-c}{a},0]$ do vzťahu
   $\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} p & q\end{array} \right),$ (1)
   a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
   $\small \;0\;=a \cdot 0\;\;\;+\;\;b \cdot \frac{-c}{b}+p \\ \small \frac{-c}{b}=c \cdot 0\;\;\;+\;\;d \cdot \frac{-c}{b}+q$
   $\small\frac{-c}{b}=a \cdot \frac{-c}{a}\;+\;\;b \cdot 0+p \\ \small \;0\;=c \cdot \frac{-c}{a}\;+\;\;d \cdot 0+q$

Cvičenie.
Určte analytické vyjadrenie osovej súmernosti určenej osou $\small o$, ktorá je určená rovnicou $\small o: \; x+2y-2=0$.

Riešenie.
Po určení $\small O'=[\frac{4}{5},\frac{8}{5}],A'=[0,1],B'=[2,0]$ a dostaneme 4 rovnice o 4 neznámych
$\small 0=a \cdot 0+b \cdot 1+\frac{4}{5}\\ \small 1=c \cdot 0+d \cdot 1+\frac{8}{5}$
$\small 2=a \cdot 2+b \cdot 0+p \\ \small 0=c \cdot 2+d \cdot 0+\frac{8}{5}$
Riešenie sústavy v GeoGebre Tu . Modelovanie cez applet "Repér" Tu.