Afinná geometria
Analytické vyjadrenie
Nech je v
je afinné zobrazenie
, v ktorom sa repér
zobrazí na repér
, pričom pre súradnice obrazov platí
.
Nech
je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz
bude platiť
(AV)
.
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle \left\langle \small O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ea2249fdb6b0d57edb027946dc31cff.png)
![\left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle \left\langle \small O; \vec f_1, \vec f_2, . . . , \vec f_m \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da48729e8a293584def5dd87cff21e52.png)
![\small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m] \small f(O)=[r_1,r_2,...,r_m]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5eda1f88fc333cd5842ee547a31e19d.png)
![\small \vec e'_i=f(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m) \small \vec e'_i=f(\vec e_i)=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af60940ae8141d3886af5088f2cf1c5d.png)
Nech
![\small X=[x_1,x_2,...,x_n] \small X=[x_1,x_2,...,x_n]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5dcae89eca8a64e02819035d3279438.png)
![\small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m] \small X'=[x'_1,x'_2,...,x'_m]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ab3a2d90723d2e20d5aa14c22d84357.png)
(AV)
![\small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\...
\\ a^1_n&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ...
\\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right) \small X'=f(X)=\left(\begin{array}{ccc} a^1_1&...&a^n_1 \\ a^1_2&...&a^n_2 \\...
\\ a^1_n&...&a^n_m\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x_1 \\ x_2\\ ...
\\x_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}r_1 \\ r_2\\ ...\\r_m \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a3c5293d468fb822bfb11545d123334.png)
Zápis (AV) nazývame analytické vyjadrenie afinného zobrazenia
vzhľadom k afinnej súradnicovej sústave
.
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/58f7f8dabe190ae58f00766af5a1c502.png)
![\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace \small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e69068ed8dc6c17cc4099c37d906e40.png)
Namiesto označenia
budeme tiež používať označenie
. V ďalších kapitolách sa zameriame na afinné zobrazenia v euklidovskej rovine,
pričom upriamime pozornosť na analytické vyjadrenia zhodných (zhodnostných) zobrazení v rovine.
![\small f(\vec e_i) \small f(\vec e_i)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64afca890a3f877f6f7c3bc032551c14.png)
![\small \overrightarrow{e'_1} \small \overrightarrow{e'_1}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/36ff0031257f74ccef86e1df7d872bad.png)
Úlohy.
Riešenie úlohy č. 1.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j
. Označme súradnice vzoru
ako usporiadanú dvojicu
a
súradnice jeho obrazu
v zobrazení
ako
. Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti
.
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru
.
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j
![\small f(X)=X \small f(X)=X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c71044e173dc72e88a436284b0b69bb1.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small (x,y) \small (x,y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d4ea9ab6c805d42fcc7986dad77a9f5.png)
![\small f(X) \small f(X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fe3f89dc5e61ef756f7495f065db69c5.png)
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b7e2adc3735eb412c4b578ef9ed44270.png)
![\small (x',y') \small (x',y')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/104f0d3d5e4e73bb65801d42a41c9a20.png)
![\small (x',y')=(x,y) \small (x',y')=(x,y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6712a6c271f5a61c78ab3ed311a34894.png)
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti
![\small x'=x,y'=y \small x'=x,y'=y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fe56091800c5aa9a6e4c99b3b172cc6.png)
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
![\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right) \small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}0 \\ 0 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/66d1e3bdf7bb18962d7bfb238d411482.png)
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
![\small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \small (\begin{array}{} x' & y' \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4fd2218e18919ed0b7c9d4ba4cda3a1f.png)
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru
![\small \mathbb E_n; n>2 \small \mathbb E_n; n>2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e9c844f600ad0bb40264d4fa5b2794c3.png)
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov:
. V dôsledku tohto príkladu sme
vlastne použili rozšírené afinné súradnice, pomocou ktorých možno zjednodušiť zápis analytické vyjadrenie afinného zobrazenia. Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu
nahradíme súradnicami
a súradnice
vektora
nahradíme súradnicami
.
Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami.
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
,
pričom
má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov:
![\small a_1+a_2+ . . . =1 \small a_1+a_2+ . . . =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7b317daa3f2d5d60ce8b5d8ec459021.png)
![\small X = [x_1 , . . . , x_n ] \small X = [x_1 , . . . , x_n ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d6bb0fe4aa343a6996a595b0930f987.png)
![\small [ x_1 , . . . , x_n,1 ] \small [ x_1 , . . . , x_n,1 ]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2baa221eb1ab835da5a2af8b84374ee.png)
![\small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m) \small \vec e'_i=(a^i_1,a^i_2,...,a^i_m)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b85b63aa77d05154a23d690ad60c99eb.png)
![\small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 ) \small ( a^i_1,a^i_2,...,a^i_m,0 )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d289f5c24c3db49d89b8a9de4a1e9387.png)
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
![\small
\left(
\begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\
a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\
\; \; ···\\
a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\
0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right)
\times
\left(
\begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right) \small
\left(
\begin{array}{} x_1' \\ x_2' \\ · · · \\ x_n' \\ 1 \end{array}\right)=
\left(
\begin{array}{} a_1^1 & a_1^2 & · · · &a_1^n & r_1 \\
a_2^1 & a_2^2 & · · · &a_2^{n} & r_2 \\
\; \; ···\\
a_m^1 & a_m^2 & · · · &a_m^n & r_m \\
0 & 0 & · · · & 0& 1 \\ \end{array}\right)
\times
\left(
\begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ · · · \\ x_n \\ 1 \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e0f2a1220d22ff190cc2660895b4c66.png)
pričom
![\small x_i, a_i^j,r_i \small x_i, a_i^j,r_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4cc30554b2a4687d3c12c0b9906cb08a.png)