Afinná geometria
Vektorový priestor
Schmidt ortogon. proces
Nech
je
- rozmerný vektorový priestor so skalárnym súčinom
a nech je daná množina
lineárne nezávislých vektorov tohto konečno rozmerného priestoru (
).
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small (\pmb u , \pmb v) \small (\pmb u , \pmb v)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b052215c85fa183096632aa372b02f9.png)
![\small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace \small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/42e0d5fee27471386d08f76c72c92ce9.png)
![\small \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n \small \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1c9969360beabc2f92f2e11f04639d1.png)
Definícia.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny
lineárne nezávislých vektorov vytvárame ortonormálnu bázu
- rozmerného
vektorového priestoru
.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
Poznámka.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Celý proces vytvárania ortonormálnej bázy možno popísať algoritmicky/rekurentne takto:
- V prvom kroku Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa za základ stanoví prvý vektor z danej množiny vektorov
. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných.
- Ďalším
-tym krokom je samotná ortogonalizácia
-teho vektora. Nasledujúci
-ty vektor určíme ako lineárnu kombináciu
-teho vektora z danej množiny vektorov
a už
vytvorených vektorov.
- Nakoniec prevedieme normalizáciu vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu.
Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Nech
je vektorový priestor so skalárnym súčinom
a nech
sú lineárne nezávislé vektory. Potom existujú
ortonormálne vektory
, pre ktoré platí
Nech
![\small V(\mathbb R) \small V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fded0f0314a2ad2a61bcf0cac87bcd54.png)
![\small (\pmb u . \pmb v) \small (\pmb u . \pmb v)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5c424142829cb7888c69d8d27272153c.png)
![\small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V \small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/94eebff936a60701a6a09fc927640421.png)
![\small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V \small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f18711f33533488320e6794e5433ad37.png)
![\small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k} \small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1015ffff519181270c72c15a0dc8bcc.png)
Dôkaz.
A. Proces ortogonalizácie.
A. Proces ortogonalizácie.
- Najprv určíme prvý vektor, pričom položíme
.
- Druhý vektor určíme ako lineárnu kombináciu
, pričom podľa predpokladu platí
. Po skalárnom vynásobení rovnice
vektorom
dostaneme riešenie
.
Po dosadení dostaneme riešenie
.
- Pre tretí vektor bude lineárna kombinácia v tvare
, pričom platí
. Po skalárnom vynásobení rovnice postupne vektormi
dostaneme riešenie
;
.
- Pomocou matematickej indukcie dokážeme, že pre ďalšie vektory platia vzťahy
.
- Teraz stačí len "znormovať" tieto vektory.
Dostaneme jednotkové vektory
Cvičenie.
Riešenie.
- Zvoľme prvý vektor ortogonálnej bázy
(zrejme nie je jednotkový, jeho normalizáciu urobíme v závere riešenia). Druhý vektor
určíme zo vzťahu
(k),
kde. Rovnicu (k) skalárne vynásobíme vektorom
. Podľa predpokladu v Schmidtovom ortogonalizačnom procese musia byť vektory
na seba kolmé, teda musí pre ich skalárny súčin platiť rovnosť
. Zároveň platí
. Po dosadení do (k) môžeme určiť/vypočítať koeficient
, odkiaľ dostaneme pre vektor
.
Tretí vektor určíme zo vzťahu
(zobrali sme 2-násobok druhého vektora). Ľahko nahliadneme, že
, odkiaľ
. Zrejme vektory
sú na seba kolmé a stačí ich znormovať.
V prípade, že by sme zvolilidostali by sme bázu
, ktorá je tiež ortogonálna. Teda výsledná báza závisí od voľby poradia vektorov
.
- Stačí určiť smerové vektory danej roviny, ktoré patria do vektorového priestoru určeného danou rovinou (do jej zamerania). Sú to napríklad vektory
. Potom realizujte Schmidtov ortogonalizačný proces a utvorte ortogonálnu bázu skúmaného vektorového podpriestoru.
Preštudujte si študijný text o kolmých vektorových podpriestoroch v práci:
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.