Afinná geometria
Vektorový priestor
Dimenzia a báza
Nech
je vektorový priestor nad telesom
. Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sme zadefinovali lineárny obal ako
množinu všetkých lineárnych kombinácií
kde
sú vopred dané vektory priestoru
.
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/acb217c60c3144478176a9f091aa20db.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
Axiómy dimenzie - rozmeru
- Nech vo vektorovom priestore
existuje maximálne
lineárne nezávislých vektorov, kde
je prirodzené číslo. Číslo
nazývame dimenzia vektorového priestoru.
- Každá
- tica vektorov je už lineárne závislá.
- Podmnožina
vektorového priestoru
je jeho báza práve vtedy, keď každý vektor
možno práve jediným spôsobom vyjadriť ako lineárnu kombináciu
navzájom rôznych vektorov množiny
.
- Koeficienty
nazývame súradnice vektora v vzhľadom na bázu
. Označujeme
a čítame „súradnice vektora
vzhľadom na bázu
.
Definícia.
Vektorový priestor
nad telesom
je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná
množina vektorov
, že platí
.
Báza je množina
lineárne nezávislých vektorov,
ktorá generuje celý priestor
.
Vektorový priestor
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V \small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n} ∈ V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e66294d5b0ae45136254419c114f6b07.png)
![\small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb] \small V =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}\pmb]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d96af90db420b599197cd8a21f7ba21b.png)
Báza je množina
![\lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace \lbrace{\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_n}}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c9b38b180c546cc89c658e7037884c95.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9072caf2b3287e8d02e10fc0ce00f2dc.png)
Príklad.
Majme množinu
všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
- sčítanie po zložkách.
- násobenie skalárom
,
kde
sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že
množina
spolu s operáciami
je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.
Majme množinu
![\small V_2(\mathbb R) \small V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9be67ff02855cccf4807e8bd1060ce74.png)
![\small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2) \small \oplus: \; (a_1,a_2) \oplus (b_1,b_2 ) =(a_1+b_1,a_2+b_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca9c3ce09ea06064d7843d2c588ba5a0.png)
![\small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2) \small \odot : \;k \odot (a_1,a_2) =(k.a_1,k.a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fb243b8c4d8310b4d580bdd3a2850ac9.png)
![\small k \in \mathbb R \small k \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0d3740d037723750e7e401540f3a4df.png)
kde
![\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R) \small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ccc5d9eca37f628bb50c170c1e6d193.png)
![\small V_2(\mathbb R) \small V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/514f4424184745013c9d4c481af85139.png)
![\small \oplus, \odot \small \oplus, \odot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb05f6c6bb61b86ed1b40f65efb21f86.png)
Poznámky.
-
Vektorový priestor
je reprezentovaný množinou všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú určené ľubovoľnou usporiadanou dvojicou bodov v klasickej euklidovskej rovine.
-
Ak využijeme pravouhlý súradnicový systém s osami
a počiatkom
, tak jedno z umiestnení vektora
môžeme znázorniť ako orientovanú úsečku
, kde bod
má súradnice
. Všimnite si, že budeme rozlišovať zápis usporiadanej dvojice (okrúhle zátvorky) a súradnice bodu v rovine (hranaté zátvorky).
- V stredoškolskej matematike sa vektor priamo definuje ako orientovaná úsečka so šípkou smerujúcou od počiatku
súradnicového systému k bodu
. Šípkou sa označuje “orientácia” vektora
.
- V písomnom texte budeme vektor
označovať symbolom
.
V pravouhlom súradnicovom systéme usporiadané dvojice
reprezentujú tiež dva
body
v euklidovskej rovine. Označme
. Potom vektor
je zrejme súčtom vektorov
. Toto tvrdenie vyplýva zo zhodnosti trojuholníkov
.
Súradnice vektora
určeného orientovanou úsečkou
, kde
určíme ako rozdiely súradníc bodov
tj.
. Vytvorili sme operáciu: odčítavanie bodov, pričom:
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou
môžeme zapísať aj ako
.
![\small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R) \small \pmb a=(a_1, a_2),\pmb b=(b_1, b_2) \in V_2(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fda488428b064385abd3b84927e88611.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB} \small \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff9abca6090efd173dbbf17cf9cff1ac.png)
![\small \vec{u}=\overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD} \small \vec{u}=\overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04623ae4f3fcc2f8c7382eddc3073683.png)
![\small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \small \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaf972d910fb8da2bcf60c4b09828445.png)
![\small \triangle ABC \simeq \triangle ODE \small \triangle ABC \simeq \triangle ODE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/678bace06e92e79bb30aa84bae256d49.png)
![\vec{u} \vec{u}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19835aed54b4a15cbc2200e4fa7ec287.png)
![\small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD} \small \overrightarrow{AB} \simeq \overrightarrow{OD}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9575517906dc1b5c9f4a711c8359ab7.png)
![\small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2] \small A = [a_1, a_2], B = [b_1, b_2]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/722953470976b26fb531d9b2cc406b86.png)
![\small B,A \small B,A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d99c541e66dafba859501fb51559037.png)
![(b_1 -a_1, b_2-a_2) (b_1 -a_1, b_2-a_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17c63760b827200db3ea78e5b3c2114f.png)
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou
![\small \overrightarrow{AB} \small \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5fab04459f46b718f71211fa0f7038e7.png)
![\small B-A \small B-A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a91a28f9e45596dd9d357b939b2e50ed.png)
Cvičenie.
Daný je vektorový priestor
.
Nájdite nejakú bázu
priestoru
a určite jeho dimenziu, ak
.
Priestor
obsahuje štvorice prvkov telesa
zvyškových tried modulo 7.
Daný je vektorový priestor
![\small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7} \small W=[(6,1,0,2),(2,3,4,1),(5,1,2,3),(3,0,1,4)]⊂\mathbb{\pmb Z^4_7}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd3b10ee76d3e4560ca9d4c3613b338e.png)
Nájdite nejakú bázu
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1) \small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f50823fa7d348455042c05b03413ad5.png)
Priestor
![\small W \small W](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/21d5b611683ad801195bcf5e022435eb.png)
![\small \mathbb{\pmb Z_7} \small \mathbb{\pmb Z_7}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/102785500aba836a8e279c0cfcf78f40.png)
Poznámka k cvičeniu.
Zápis
hovorí, že súradnice vektora
voči kanonickej báze sú
.
Súradnice vektora
voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor
, tj.
.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky
vektora
.
Zápis
![\small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1) \small {\left\langle x \right\rangle} _{k.b.}=(1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6f50823fa7d348455042c05b03413ad5.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\small (1,2,1,1) \small (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8316dbdfb1ce2440b7f49c5ba8ce9173.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
![\small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1) \small \pmb x=1⋅(1,0,0,0)+2⋅(0,1,0,0)+1⋅(0,0,1,0)+1⋅(0,0,0,1)= (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/11ddc673914ff0fa1bc2cdb58d13e301.png)
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky
![\small (1,2,1,1) \small (1,2,1,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c16d3b5efcb8fcd63b4e5823f206bc3.png)
![\pmb x \pmb x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c26ba8ecea1985bafae5194dbdda116b.png)
Riešenie.
- Máme nájsť bázu vektorového priestoru
, ktorý je daný ako lineárny obal množiny generátorov
.
Aby množina vektorov bola bázou, musí byť ešte lineárne nezávislá. - Ak teda nájdeme bázu
musí pre súradnice vektora
platiť
.
Z tejto vektorovej rovnice vypočítame súradnice. Najskôr treba upraviť maticu
na trojuholníkový tvar (Pozor, pracujeme nad telesom resp. poľomzvyškových tried modulo 7!) Po prvej iterácii
dostanme
.
Urobte ešte dve iterácie tak, aby ste dostali maticu
.
- Hodnosť matice je rovná 2, preto pre lineárny obal platí
.
Dimenzia je rovná 2 a aspoň jedna báza je určená lineárne nezávislou množinou vektorov - Určte súradnice vektora
v tejto báze. Výpočet súradníc nájdete Tu.
Veta - existencia bázy.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Z vlastností hodnosti matíc ľahko odvodíme tvrdenie. Dôkaz nájdete napríklad v práci [Hasek:Linearni algebra a geometrie, str. 45-46].