Trojuholník - cvičenia
Vybrané vety o trojuholníkoch
Definícia (Deliaci pomer)
Nech sú tri kolineárne body také, že . Deliaci pomer bodu vzhľadom k bodom rozumieme reálne číslo (označenie , pre ktoré platí
.
Pre bod je a pre bod je . Pre je zrejme .
Nech sú tri kolineárne body také, že . Deliaci pomer bodu vzhľadom k bodom rozumieme reálne číslo (označenie , pre ktoré platí
.
Pre bod je a pre bod je . Pre je zrejme .
Poznámka
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo , pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo , pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
Dokážte:
Cevova veta
V trojuholníku sa priamky , kde je vnútorným bodom trojuholníka a sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
V trojuholníku sa priamky , kde je vnútorným bodom trojuholníka a sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod.
Dôkaz
1. (): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak .
Applet otvoríte Tu
2. (): Ak , tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Dôkaz
1. (): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak .
Applet otvoríte Tu
2. (): Ak , tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku:
- Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar .)
- Výšky sa pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. , ak je výška.)
- Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.
Morleyho veta.
Ak v trojuholníku zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka .
Ak v trojuholníku zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka .
Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
- V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety (uhly pri vrchole ... os uhla, pri vrchole majú veľkosť , strana spoločná).
- V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
- Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
_____________________________________________________________________________________________________________
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.