Trojuholník - cvičenia
Vybrané vety o trojuholníkoch
Definícia (Deliaci pomer)
Nech
sú tri kolineárne body také, že
. Deliaci pomer
bodu
vzhľadom k bodom
rozumieme reálne číslo
(označenie
, pre ktoré platí
.
Pre bod
je
a pre bod
je
. Pre
je zrejme
.
Nech
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aae8cff59f80e449ee04f33e2ac58b03.png)
![\small A \neq B, C \neq B \small A \neq B, C \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b665c95158181fb8141d24f6576f89ae.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\small \lambda \small \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3e9f6b447385de83de615d7bd26ea1c.png)
![\small (ABC) \small (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c406e0ac29eaa18e6cbbc8d8271dfd7.png)
![\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|} \small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e93a9aa37eb4df0e63a8ab5e20b8e3a1.png)
Pre bod
![\small C \notin AB \small C \notin AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/06158cca917ed2cc6fd46bdfd2eddf07.png)
![\small (ABC) > 0 \small (ABC) > 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab53bccd161ce35756222c3e2d85df29.png)
![\small C \in AB \small C \in AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4051d91612aff82900d9b438f500dacf.png)
![\small (ABC) < 0 \small (ABC) < 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bfb008f9ac5240977692519cf81e70d.png)
![\small C =A \small C =A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc9d74b28c0ec401945505cfc5a79ef4.png)
![\small (ABC) = 0 \small (ABC) = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/496e419ba4f092464d5934ee81f82f0c.png)
Poznámka
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo
, pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo
![\lambda \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4cb48c4930d87cb162248941da75e0f.png)
![\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ccba1b403356ed0c1a04a7f553f314c2.png)
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
Dokážte:
Cevova veta
V trojuholníku
sa priamky
, kde
je vnútorným bodom trojuholníka
a
sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
V trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa2d6aafe28505939ab9e0d7a91dbec7.png)
![\small {AK},{BK},{CK} \small {AK},{BK},{CK}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6764bbe915a3fe057adde42ac060b3a6.png)
![\small K \small K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/71b87ac33e1f5180aca6d4fc556ef5fc.png)
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74e0ca4ecc97549a097fed0a7d6c081e.png)
![\small D,E,F \small D,E,F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4ce2b52f68077341e7dc718615cd14b.png)
![\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. \small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/150799494815329fc80cd75d5db64100.png)
Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod.
Dôkaz
1. (
): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak
.
Applet otvoríte Tu
2. (
): Ak
, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Dôkaz
1. (
![\Rightarrow \Rightarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28388689c0d3e31c2525f8cd70ec7de8.png)
![S=1 S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcab6d07cc416502c086f8bcb9ff8baf.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/425402/mod_book/chapter/10505/Sn%C3%ADmka%20.png)
Applet otvoríte Tu
2. (
![\Leftarrow \Leftarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31b21a2f5e77a479a6982aee0ca6b711.png)
![\small S=1 \small S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd81d69ee8b63a21842ffbf862a0ce1c.png)
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku:
- Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar
.)
- Výšky sa pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr.
, ak
je výška.)
- Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.
Morleyho veta.
Ak v trojuholníku
zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka
.
Ak v trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16b7c6a620a478a545736b9b00f0d6f6.png)
![\small KLM \small KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d1c27617790d13b5d2427b3185a077e.png)
Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
- V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety
(uhly pri vrchole
... os uhla, pri vrchole
majú veľkosť
, strana
spoločná).
- V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník
je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
- Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
_____________________________________________________________________________________________________________
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.