Afinná geometria
Euklidovský priestor
Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na tomto vektorovom priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra.
Euklidovský priestor je
-rozmerný afinný priestor so zameraním
a s vyššie
definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom
.
![\small n \small n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8cd9f4bbe61543999cc86201a0470d5.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
Vo vektorovom priestore okrem skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je skalár (reálne číslo), môžeme definovať operáciu, ktorej výsledkom bude
vektor kolmý na obidva pôvodné vektory. Pre vektorový súčin uvedieme definíciu pomocou zobrazenie, ktoré dvojici vektorov v trojrozmernom Euklidovskom
priestore priraďuje vektor kolmý na obidva pôvodné vektory.
Definícia - vektorový súčin.
Vektorový súčin dvoch vektorov
je definovaný ako vektor kolmý k vektorom
, ktorého veľkosť
je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme
,
kde
je uhol zvieraný vektormi
s vlastnosťou
a
je jednotkový
vektor kolmý k nim.
Vektorový súčin dvoch vektorov
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R) \small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4eece9371cba8b9289f816b5850cab3.png)
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \small \mathbf {a},\mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc695a02284f55c449260bd94af42c2.png)
![\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta } \small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a118d00aef21166220c8a8d00b09e393.png)
kde
![\small θ \small θ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd1cca38437be5e262c683b4b8956b4d.png)
![\small \mathbf {a},\mathbf {b} \small \mathbf {a},\mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1fc695a02284f55c449260bd94af42c2.png)
![\small 0° ≤ θ ≤ 180° \small 0° ≤ θ ≤ 180°](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5cd0598249e7914d239b731a0ff36da2.png)
![\small \mathbf {n} \small \mathbf {n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/467b341e51a7ecc028ae3eb150ceb0db.png)
Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory
. Potom
zložky vektora
vektorového súčinu
možno určiť ako
.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory
![\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3) \small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e0acb317f11c8cc76f892a633d806cef.png)
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
![\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} } \small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fd04b176b17902743d23c8cea328ea7.png)
![\small
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}} \small
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc451c2d366f21e1de98f5b48246bf28.png)
Pomôcka na výpočet súradníc vektora
.
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora
a pridáme ešte raz jeho
prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom
. Dostaneme schému
.
Teraz určíme súradnice vektora
- krížové násobenie:
.
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora
![\small \mathbf {a} \small \mathbf {a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51ade2f8faf2ca0925e04b4de7e4a402.png)
![\small \mathbf {b} \small \mathbf {b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6484143445c62745c108a6384b4c652b.png)
![\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}} \small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b43b76291555360f712493571d740ef.png)
Teraz určíme súradnice vektora
![\small \mathbf {c} \small \mathbf {c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a4364dc0e78daf281c17fb8ecb04c2dc.png)
![\small (
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}};
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}};
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}) \small (
{\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}};
{\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}};
{\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7a82fcf5ad69eb895dc633db9d32aad.png)
Poznámky.
- Pre obsah trojuholníka
je známy vzorec
, kde
. Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať
.
- Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Pozrite si prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.
Cvičenie.
Riešenie.
- ...
- ...