Kvadratické funkcie a rovnice na SŠ

Najstaršie dochované matematické poznatky o závislostiach čísel pochádzajú z Mezopotámie, Egypta, Indie a Číny. Babylončania (okolo roku 400 pred Kristom) boli prví, ktorí vyriešili kvadratické rovnice. Ich riešenie nebolo algoritmické, ich metóda je v podstate metódou doplnenia do štvorca.

Úloha - problém z tabletu YBC 4663 (Mezopotámia asi 1800 pred Kristom).
Súčet dĺžky a šírky obdĺžnika je $6\frac{1}{2}$ a plocha obdĺžnika je $7\frac{1}{2}$. (Katz, 2009, s. 28) Máme nájsť dĺžku a šírku obdĺžnika.

Pôvodné riešenie.

Pisár podrobne popisuje kroky, ktorými prechádza.
1. Najprv zníži $6\frac{1}{2}$ na polovicu, aby získal $3\frac{1}{4}$.
2. Potom odmocní $3\frac{1}{4}$ a dostane $10\frac{9}{16}$.
3. Od tejto (plochy) odpočítava daná plocha $7\frac{1}{2}$, čo dáva $3\frac{1}{16}$.
4. Odmocnina tohto čísla sa extrahuje $1\frac{3}{4}$.
Nakoniec pisár poznamená, že dĺžka je $3\frac{1}{4}$ + $1\frac{3}{4}$ = 5, zatiaľ čo šírka je $3\frac{1}{4}$-$1\frac{3}{4}$=$1\frac{1}{2}$.

Definícia.
Algebraický výraz druhého stupňa a má tvar $\normalsize ax^2 + bx + c = 0$, kde $\normalsize a \neq 0 ,b,c$ sú reálne čísla a $\normalsize x$ je neznáma, budeme nazývať kvadratická rovnica.

V školskej matematike používane termíny pre koeficienty $a ,b,c$ kvadratický, lineárny a absolútny člen.
Pojem „kvadratický“ pochádza z latinského slova „quadratus“, čo znamená štvorec. Kvadratická rovnica množstvo aplikácií vo fyzike, inžinierstve, astronómii atď.
Kvadratická rovnica má maximálne dve riešenia, ktorými môžu byť reálne alebo komplexné čísla. Riešenia sa tiež nazývajú korene kvadratickej rovnice a sú najčastejšie označené ako (α, β).

Veta.
Riešenie (korene) kvadratickej rovnice $\normalsize ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$ sú buď

1. dve rôzne reálne čísla, ak diskriminant $\small D$ je kladný,
2. jedno reálne číslo, ak diskriminant $\small D$ je rovný nule,
3. dve komplexne združené čísla, ak diskriminant $\small D$ je záporný,
kde diskriminant $\small D$ je určený vzťahom $\small D \normalsize =b^2-4ac$.

Reálne korene môžeme určiť pomocou vzťahu $x_{1,2}=$$\Large \frac{-\color{blue} b \pm \sqrt{\color{blue}b^2-4\color{red}a\color{green}c}}{2\color{green}a}$.

Pri dokazovaní tvrdenia uvedeného v predchádzajúcej vete sa v školskej matematike využíva metóda dopĺňania kvadratického trojčlena $\normalsize ax^2 + bx + c$ na "súčet štvorcov".

Kvadratické rovnice sú jednou zo základných tém stredoškolského učiva. Tematický celok Kvadratické rovnice sa považuje pre žiakov stredných škôl procedurálne a koncepčne za pomerne náročný.
Viaceré štúdie naznačujú, že "veľa študentov čelí problémom pri učení sa kvadratických rovníc a ich výkon je hlavne slabý" (Harripersaud, 2021). Konceptuálny význam kvadratických rovníc sa vo vyučovaní vo všeobecnosti ignoruje. Študenti zvyčajne inklinujú dodržiavať naspamäť naučené procedurálne pravidlá bez toho, aby premýšľali o ich význame pri riešení kvadratickej rovnice.

Nedávno sa uskutočnila analýza (Didi¸s Kabar, M. G., 2023, dostupn Tu) výskumov zameraných na preskúmanie efektivity procesu matematického vzdelávania v tematickom celku kvadratické rovnice. Analyzované boli štúdie realizované v období rokoch 2000 až 2021. Spoločným menovateľom týchto štúdií boli zistenia, že študenti stredných škôl vo viacerých vyspelých krajinách robia približne rovnaké chyby.

Najčastejšie sú to nasledujúce tri kategórie.

1. Chyba vo výpočtoch, numerické resp. algebraické chyby.
2. Problémy správne porozumieť zadaniu (hlavne pri slovných úlohách).
3. Slabé algebraické zručnosti pri faktorizácii (rozklade na súčin lineárnych dvojčlenov).

Po historických poznámkach učiteľ matematiky na vyššom sekundárnom vzdelávaní pristupuje k výkladu a popisu metód používaných pri riešení kvadratických rovníc. V súčasnosti ide o metódy, ktoré sú vhodné pre školskú matematiku. Medzi také metódy zaraďujeme:

1. rozklad kvadratického trojčlena na súčin lineárnych dvojčlenov,
2. dopĺňanie do úplného štvorca,
3. použitie kvadratického vzorca,
4. grafické riešenie pomocou DGS.

Všetky štyri metódy by mali byť predmetom matematického vzdelávania minimálne na gymnáziách. Metóda rozkladu je vlastne zopakovaním úprav algebraických výrazov z prvého gymnaziálneho ročníka. Z matematického hľadiska nie je významný rozdiel medzi prvou a druhou metódou. V obidvoch prípadoch je algebraický postup približne rovnaký.  Kvadratický  vzorec má výhodu oproti iným metódam, pretože má univerzálny charakter. Na druhej strane, každá metóda má svoje výhody ale i nevýhody. Tradičné vyučovanie kvadratických rovníc na slovenských gymnáziách zvyčajne sa zameriava na rozklad kvadratického trojčlena na súčin lineárnych dvojčlenov a na používanie kvadratického vzorca.

Naši učitelia majú tendenciu prehnane zdôrazňovať používanie štandardného kvadratického vzorca. Menej ponúkajú metódy založené na efektívnych algoritmoch a na využívaní digitálnych technológií. Učitelia by mali vo väčšej miere zaraďovať do vyučovania aj alternatívne metódy a alternatívne spôsoby výučby. Grafické riešenie je moderná metóda, ktorú v súčasnosti uprednostňujeme. Používame ju v symbióze kvadratickej funkcie a kvadratickej rovnice.

Rozklad kvadratického trojčlena na súčin dvoch lineárnych dvojčlenov.

Základná myšlienka tejto metódy spočíva v tom, že ak dokážeme nájsť rozklad v tvare Potom kvadratický trojčlen (ľavá strana rovnosti nadobudne nulovú hodnotu pre $x$ práve vtedy, ak súčin na pravej strane je rovný nule. To nastane presne vtedy, keď je aspoň jeden z faktorov sa bude rovnať nule resp. keď $x = u$ alebo $x = v$. Z toho vyplýva, že vyriešiť kvadratickú rovnicu znamená nájsť dve čísla $u,v$ s vlastnosťami Nájsť čísla $u+v=-\small B; \;\;u \cdot v=\small C$ nebýva vždy pre stredoškoláka jednoduché. Väčšinou ide o metódu pokus-omyl, ktorá samozrejme nemá algoritmický charakter. Neskôr, keď si žiaci osvoja metódu dopĺňania do štvorca, tak rozklad na súčin lineárnych dvojčlenov sa rieši pomocou dopĺňania do štvorca.

Uvažujme ľubovoľnú kvadratickú rovnicu: $\normalsize ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$. Na určenie koreňov tejto rovnice môžeme využiť rozklad na súčin dvoch lineárnych dvojčlenov. Postup je nasledovný

Aktivujte navigačný panel. Applet je dostupný Tu.

Definícia.
Hodnota $\normalsize b^2 - 4ac$ sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice a označuje sa ako $\small D$.

Je zrejmé, že existencia koreňov kvadratickej rovnice závisí od hodnoty diskriminantu. Možno povedať, že

1. ak $\small D > 0$, tak korene sú reálne a rôzne,
2. ak $\small D=0$, tak korene sú reálne a rovné,
3. ak $\small D < 0$, tak korene neexistujú resp. sú imaginárne.

Reálne korene kvadratickej rovnice sa dajú vyjadriť vzťahom $x_{1,2}=$$\Large \frac{- b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Úprava algebrického výrazu a riešenie kvadratickej rovnice pomocou nástroja CAS v programe GeoGebra. Použitie niektorých nástrojov interpretuje nasledujpca aktivita "Riešenie kvadratickej rovnice pomocou nástroja CAS".

Riešenie kvadratickej rovnice pomocou nástroja CAS, aktivitu otvoríte Tu.

Cvičenie.
Vytvorte zbierku na úpravu algebrických výrazov. Pozrite si náš návrh Tu.

Príklad.
Vytvorili sme v GeoGebre applet, ktorý zobrazovať graf kvadratickej funkcie, jej vrchol a nulové body (korene odpovedajúcej kvadratickej rovnice). V applete môžete pomocou posuvníkov meniť koeficienty kvadratickej rovnice resp. funkcie. Pomocou zaškrtávacích políčok (ne)zobrazujete korene kvadratickej rovnice, vrchol a graf kvadratickej funkcie.

Kvadratická rovnica a k nej odpovedajúca kvadratická funkcia, applet je dostupný Tu.

Domáce zadanie.
Dané trojčleny rozložte na súčin lineárnych dvojčlenov a pritom určte ich najmenšiu hodnotu:
$a) \;x^2 + 16x - 17 \;\; b)\; x^2- 8x +12 \;\; c)\; x^2- 2x - 3$
$d)\; x^2 + 5x - 50 \;\; \;e)\; x^2-5x -6\;\;\; f)\; x^2- x - 110$
$g)\; 2x^2- 6x - 20 \;\; h)\; x^2- 0,6x - 0,16 \;\; i)\; 4x^2- 6x + 2$.
Riešenie urobte dvoma spôsobmi: doplnením do štvorca a pomocou nástrojou CAS.

Zaradením dynamických a interaktívnych appletov do vyučovania študentom približujeme základné pojmy a vlastnosti kvadratických funkcií.

1. Koeficienty v kvadratickej rovnici $a,b,c$ ovplyvňujú tvar a polohu grafu kvadratickej funkcie.
2. Kritické myslenie upevňuje rozlišovanie medzi kvadratickými a nekvadratickými funkciami a pomáha porozumieť základným charakteristikám funkcií.
3. Posilní zručnosti študentov v oblasti spolupráce a komunikácie v triede, rozvíja digitálne a analytické zručnosti nevyhnutné pre vzdelávanie 21. storočia.

Študenti skúmajú, ako zmeny hodnôt koeficientov ovplyvňujú vlastnosti grafu, ako je zakrivenie, os symetrie a vrchol. Študenti použijú GeoGebru na aplikáciu konceptov kvadratických funkcií pri riešení matematických problémov súvisiacich s reálnymi alebo teoretickými situáciami.

Kvadratická funkcia a odpovedajúca rovnica, applet je dostupný Tu.

Cvičenie.
Kvadratická funkcia je reprezentovaná vzťahom $f(x)=ax^2+bx +c; \;a \neq 0$. Zodpovedajte resp. doplňte text.

1. Grafom kvadratickej funkcie je ... .
2. Čím väčšia je absolútna hodnota kvadratického člena $a$, tým je tvar paraboly ... .
3. Ak je hodnota $a$ kladná, parabola sa otvára parabola sa otvára smerom ... .
4. Zistite, kde na grafe leží priesečník so súradnicovou osou $\small O_y$!
5. Zistite, kde na grafe leží vrchol a os symetrie tohto grafu!
6. Pomocou príkazu "Koreň( <Polynóm> )" zadaného do vstupného poľa nájdite priesečníky kvadratickej funkcie s osou $\small O_x$!

Otvorte si aktivitu "EXPLORING QUADRATIC FUNCTION" Tu.

Zbierka riešených kvadratických rovníc.

Zbierka je vytvorená v prostredí GeoGebra, pričom sú použité okrem grafických a CAS nástrojov aj nástroje pre prácu s maticami.

Cvičenie - riešte kvadratické rovnice.

1. $x^{2} + x -12 = 0$$x^{2}+8x +7 = 0$$x^{2} -7x +10 = 0$ 
2. $x^{2} + 5x -6 = 0$$4x^{2} + 4x + 1 = 0$$x^{2} + \frac{9}{10}x - 4 = 0$
3. $2 x^{2} +9x = 0$$x^{2} -16x+48 = 0$

Zbierka riešených príkladov - kvadratické rovnice. Dostupné Tu.

Definícia.
Metóda faktorizácie je založená na rozklade kvadratického trojčlena $\normalsize x^2 + \small B \normalsize x + \small C$ na súčin $\normalsize (x-u)(x-v)$ dvoch lineárnych dvojčlenov tak aby platilo

Poznámka.
Kvadratický trojčlen nadobudne nulovú hodnotu práve vtedy, ak súčin dvojčlenov je rovný nule. To nastane presne vtedy, keď je aspoň jeden z faktorov sa rovná nule resp. keď $\normalsize x = u$ alebo $\normalsize x = v$. Z toho vyplýva, že vyriešiť kvadratickú rovnicu znamená nájsť dve čísla $\normalsize u,v$ s vlastnosťami Toto je štandardná metóda rozkladu (faktorizácie), ktorá sa pripisuje francúzskemu matematikovi François Viète (Viète 1579).

Základná myšlienka Loh metódy spočíva v tom, že budeme hľadať čísla $\normalsize u,v$ vyhovujúce vzťahu v špeciálnom tvare. kde $\normalsize z$ je nejaká konštanta.

Zrejme platí, že súčet dvoch čísel je rovný $\small -B$ práve vtedy, keď ich priemer je $\small -\frac{B}{2}$, a tak stačí nájsť dve čísla¹ v tvare $\small -\frac{B}{2} \pm z$, ktorých súčin je $\small C$. Teda namiesto hľadania dvoch neznámych čísel budeme hľadať len jedno číslo $\normalsize z$.

Tvrdenie.
Súčin $(\small -\frac{B}{2} + z)(\small -\frac{B}{2} - z)$ zodpovedá rozdielu štvorcov. Podľa predpokladu sa má rovnať $\small C$, preto platí

Ekvivalentne, práve vtedy, keď $z$ spĺňa rovnosť Keďže odmocnina vždy existuje (v prípade potreby sa rozšíri na komplexné čísla),tak hľadané $u$ a $v$ existujú v tvare $-\frac{B}{2} \pm z$, čo môžeme zapísať v tvare sú všetky korene pôvodnej kvadratickej.

Cvičenie.
Vyriešte kvadratickú rovnicu $3x^2-38x-13=0$.

1. Klasickou metódou, pomocou vzorca $x_{1,2}$.
2. Loh metódou.

________________________________________________
¹Táto substitúcia použitá na riešenie úlohy nájsť dve čísla vzhľadom na ich súčet a súčin, bola známa už Babylončanom (Katz, 2009). Objavila sa aj v prvej knihe Diophantus: Arithmetica (asi 250).

Funkcie na strednej škole.

Tematický okruh Funkcie zahŕňa Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy. V prvom rade sú to všeobecné poznatky o funkciách, kam sa radí

1. pojem resp. definícia funkcie,
2. definičný obor a obor hodnôt,
3. graf a vlastnosti funkcie.

Kvadratická funkcia

1. Kvadratická funkcia a jej graf (parabola, vrchol a os paraboly), nulové body kvadratickej funkcie, monotónnosť a ohraničenosť.
2. Grafy kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti v tematickom okruhu Kvadratická funkcia.

1. Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt.
2. Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument.
3. Vysvetliť geometrický význam parametrov a, c v súvislosti s grafmi funkcií $y = x^2, y =ax^2 + bx + c$
4. Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju.
5. Určiť, podľa načrtnutého grafu, obor hodnôt a intervaly monotónnosti.
6. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť medzi hodnotou diskriminantu kvadratickej rovnice $ax^2 + bx + c=0$ a grafom funkcie $y =ax^2 + bx + c$ .