Projektívny priestor a kužeľosečky

Riešte úlohy z učebnice od strany 22  a doplňujúce úlohy k bilineárnym formám:

1. Pozrite si riešené úlohy v beamer prezentácii Tu.
2. ♥ Ukážte, že zobrazenie $\small f$ v priestore $\small \mathbb R^4$, ktoré má vzhľadom na kanonickú bázu analytický výraz
   $\small f(x,y) = x₁y₁ + x₁y₄ + 2x₂y₂ + 3x₃y₃ + 2x₃y₄ + x₄y₁ + 2x₄y₃ + 3x₄y₄$
   je skalárnym súčinom. Potom ešte vyriešte čiastkové úlohy:
   • Nájdite nejakú ortogonálnu a ortonormálnu bázu priestoru $\small \mathbb R^4$.
   • Zistite, či sú vektory $\small \vec{x},\vec{y}$ na seba kolmé:
     $\small \vec{x} = (1,0,3,-2), \vec{y} = (2,-1,1,2)$.
   • Určte, aký uhol zvierajú vektory $\small \vec{u},\vec{v}$:
     $\small \vec{u} = (2,1,0,1), \vec{v} = (0,3,1,-1)$.
   • Určte ortogonálne doplnky podpriestorov $\small W₁, W₂$ v priestore $\small \mathbb R^4$:
     $\small W₁ = [x], W₂ = [u,v]$. Pozrite si riešenie od Andrii Golubtsov vo forme prezentácie Tu.
3. Daná je bilineárna forma definovaná analyticky:
   $\small f(x,y)=4 x_1 y_1 - 2 x_1 y_2 + 3 x_1 y_3 - 2 x_2 y_1 + 5 x_2 y_2 - x_2 y_3 + 3 x_3 y_1 - x_3 y_2 + 6 x_3 y_3$
   Zistite, či predstavuje skalárny súčin. Výpočet urobte pomocou vlastných hodnôt matice formy.