Afinný priestor a afinné zobrazenia interaktívne

Definícia (Vonkajší súčin).
Nech $\small V_n$ je orientovaný vektorový priestor a nech $\small \mathcal B$ je jeho kladná ortonormálna báza. Pod vonkajším súčinom vektorov $\small \pmb {v}_1, \pmb {v}_2, \dots, \pmb {v}_n \in V_n$ rozumieme nasledujúci determinant:
$\small \begin{vmatrix} v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1n} \\ v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n1} & v_{n2} & \cdots & v_{nn} \end{vmatrix},$
kde v riadkoch tohto determinantu sú súradnice vektorov $\small ;\pmb {v}_1, \pmb {v}_2, \dots,\pmb {v}_n$ vzhľadom na bázu $\small B$,
tj. $\small \pmb {v}_i = (v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{in}), i \in \{1, 2, \dots, n\}$.

Poznámky K orientácii bázy si pozrite výklad Tu. Ukážka transformácie bázy Tu.

1. Geometrický význam vonkajšieho súčinu vektorov od $\small V_2$ a až po $\small V_3$:
   • Nech $\small \mathcal B$ je kladná báza vektorového priestoru $\small V_2$ a nech vektory $\small \mathbf {v},\mathbf {w}$ tvoria rovnobežník s orientáciou podľa $\small \mathcal B$. Potom vonkajší súčin $\small [\mathbf {v},\mathbf {w}]$ vyjadruje orientovanú plochu rovnobežníka tvoreného vektormi $\small \mathbf {v},\mathbf {w}$.
   • Nech$\small \mathcal B$ je kladná báza vektorového priestoru $\small V_3$ a nech vektory $\small \mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf {w}$ tvoria rovnobežnosten s orientáciou podľa $\small \mathcal B$. Potom vonkajší súčin $\small [\mathbf {u},\mathbf {v},\mathbf {w}]$ vyjadruje objem rovnobežnostena tvoreného týmito vektormi.
2. Vo vektorovom priestore $\small V_3$ okrem vonkajšieho súčinu, ktorého výsledkom je reálne číslo predstavujúce objem, môžeme definovať operáciu "vektorový súčin". Výsledkom tejto operácie bude vektor.

Definícia (Vektorový súčin).
Vektorový súčin dvoch vektorov $\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)$ je definovaný ako vektor kolmý k vektorom $\small \mathbf {a},\mathbf {b}$, ktorého veľkosť je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme
$\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }$,
kde $\small θ$ je uhol zvieraný vektormi $\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ s vlastnosťou $\small 0° ≤ θ ≤ 180°$ a $\small \mathbf {n}$ je jednotkový vektor kolmý k nim.

1. Vektorový súčin vektorov budeme symbolicky označovať $\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ alebo $\small \vec{a} \times \vec{b}$.
2. Vektorový súčin vektorov je definovaný len pre 3-rozmerný Euklidovský priestor!

Existujú rôzne metódy výpočtu vektorového súčinu dvoch vektorov $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ a $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ v trojrozmernom priestore. Tu sú najbežnejšie metódy:

Determinantová metóda (priama metóda pomocou determinantov).

Vektorový súčin dvoch vektorov $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ a $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ sa vypočítame ako determinant matice so základnými vektormi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ a komponentami vektorov $\vec{a}, \vec{b}$:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

Tento determinant sa rozvinie do: Výsledok je: Konečná forma:

Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory $\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)$. Potom zložky vektora $\small \mathbf {c}$ vektorového súčinu $\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ možno určiť ako
$\small {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}.$

Vektorový súčin je úzko spojený s priesečníkom dvoch priamok. Pozrite si príspevok k téme Aplikácie vektorového súčinu Tu.
V moderných programovacích jazykoch, ako Python alebo GeoGebra, MATLAB, sú k dispozícii vstavané funkcie na výpočet vektorového súčinu, ktoré umožňujú rýchly a presný výpočet.

Pomôcka na výpočet súradníc vektora $\small \mathbf {c}$.
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora $\small \mathbf {a}$ a pridáme ešte raz jeho prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom $\small \mathbf {b}$. Dostaneme schému
$\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}$.
Teraz určíme súradnice vektora $\small \mathbf {c}$ - krížové násobenie: $\small ( {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}; {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}; {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})$.

Tvrdenia.

1. Pre obsah trojuholníka $\small ABC$ je známy vzorec
   $\small S =\frac{1}{2}a · b · \sin  γ$,
   kde $\small a=|BC|,b=|AC|,γ=\angle ACB$. Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať
   $\small S =\frac {1}{2} ∥ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } ∥$.
2. Zrejme pre obsah rovnobežníka $\small ABCD$ bude platiť: $\small S = ∥ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } ∥$.
3. Prípad $\small V_2$. Vzorec pre obsah rovnobežníka $\small ABCD$ poznáme zo základnej geometrie: S= základňa x výška. Uvažujeme nezávislé vektory
   $\small \mathbf a = (a_1, a_2),\mathbf b = (b_1, b_2)$ 
   určené vrcholmi rovnobežníka tak, aby základňa = dĺžka vektora $\small \mathbf a$ a zároveň výška = dĺžka kolmého vektora $\small \mathbf n$ na vektor $\small \mathbf a$. Z vlastnosti pravouhlého trojuholníka dostaneme $\small \mathbf n=\mathbf b . sin φ$. Obsah rovnobežníka sa teda vypočíta ako súčin základne a príslušnej výšky: 
    $\small S = |\mathbf u| · |\mathbf b| · sin φ$,
   kde $\small φ$ je uhol medzi vektormi. Tento výraz sa pri vyjadrení pomocou súradníc rovná $\small |a_1b_2 − a_2b_1|$.  Výraz $\small a_1b_2 − a_2b_1$ je determinant matice, ktorej prvky sú súradnice daných vektorov. Preto determinant vyjadruje orientovaný obsah rovnobežníka určeného týmito dvoma vektormi a jeho absolútna hodnota udáva skutočný obsah: $\small S = |a_1b_2 − a_2b_1|$.
4. Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Zdôvodnenie nájdete Tu. Tiež odporúčame prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.

Cvičenie.

1. Zistite, či zobrazenie (operácia) $\small f:$ $\small V_2 \times V_2 \rightarrow \mathbb R$ je skalárnym súčinom, ak
   • $\small f ( (x_1,x_2), (x_2,y_2)) =x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10y_1y_2$,
   • $\small f ( (x_1,y_1), (x_2,y_2)) =x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$.
2. Zistite aký uhol zvierajú jednotkové vektory $\small \vec a, \vec b$, ak $\small \vec x=\vec a+2\vec b, \vec y=5\vec a-4\vec b$ sú na seba kolmé vektory.
3. Vypočítajte obsah rovnobežníka $\small ABCD$, ak poznáte súradnice troch jeho vrcholov: $\small A[5; 1; 4], B[−1; −2; 6], C[2; 3; −2]$. Vytvorte si model v GeoGebre.
4. Vypočítajte veľkosť vektora $\small \vec c=3\vec a+2\vec b$ , ak $\small ||\vec a||=3,||\vec b||=4,|\angle (\vec a, \vec b)||= \frac{2}{3} \pi$.