Množiny bodov danej vlastnosti.
  1. Daná je kružnica \small k=(S,r) a vnútri nej bod \small X .
    • Určte množinu stredov všetkých tetív kružnice \small k , ktoré prechádzajú bodom \small X . Návod Tu.
    • Určte množinu bodov, ktoré sú stredom nejakej jej tetivy, ktorá neobsahuje bod \small X.
  2. V rovine je daný ostrouhlý trojuholník \small AKL. Uvažujme ľubovoľný pravouholník \small ABCD, ktorý je trojuholníku \small AKL opísaný tak, že bod \small K leží na strane \small BC a bod \small L leží na strane \small CD. Určte množinu priesečníkov \small S uhlopriečok \small AC, BD všetkých takých pravouholníkov \small ABCD. (Kat. A; 2004/2005; celoštátne kolo; úloha 4A - III - 4, znenie Tu.) Applet s riešením Tu.
  3. V rovine je daný rovnoramenný trojuholník \small KLM so základňou \small KL. Uvažujme ľubovoľné dve kružnice \small k, l, ktoré majú vonkajší dotyk a ktoré sa dotýkajú priamok \small KM,LM postupne v bodoch \small K, L. Určte množinu dotykových bodov \small T všetkých takých kružníc \small k,l. (Kat. A; 2004/2005; celoštátne kolo; úloha 4) Tu.
  4. V rovine sú dané dve kružnice \small k_1(S_1, r_1), k_2(S_2, r_2), pričom \small |S_1S_2| > r_1 + r_2. Nájdite množinu všetkých bodov \small X, ktoré neležia na priamke \small S_1S_2 a majú tú vlastnosť, že úsečky \small S_1X,S_2X pretínajú postupne kružnice \small k_1, k_2 v bodoch, ktorých vzdialenosti od priamky \small S_1S_2 sa rovnajú. (Kat. A; 2013/2014; krajské kolo; úloha 2, zadanie a riešenie Tu.) Applet s riešením Tu.
Rovnoľahlosť.
  1. Daná je úsečka \small AA_0 a priamka p . Zostrojte trojuholník \small ABC s vrcholom \small A a výškou \small AA_0 , ktorého ťažisko a stred kružnice opísanej ležia na priamke p . Pozri 56. ročník MO, šk. rok 2006/2007, úloha B – I – 6. Riešenie - autorské Tu.
  2. Označme \small O stred kružnice vpísanej pravouhlému trojuholníku \small ABC s pravým uhlom pri vrchole \small A. Ďalej označme \small M,N stredy úsečiek \small AB,BO. Dokážte, že priamka \small CO je dotyčnicou kružnice opísanej trojuholníku \small BMN. Kat. A; 2020/2021; celoštátne.; úloha 2. Riešenie - applet Tu. Návod Tu.
  3. V rovine sú dané dva rôzne body \small O,A. Určte množinu ortocentier všetkých trojuholníkov \small ABC, pre ktoré je bod \small O stredom kružnice opísanej. Kat. A; 2019/2020; domáce kolo; úloha 2. Riešenie - applet Tu.
  4. Dané sú dve rôznobežky \small a, c prechádzajúce bodom \small P, B, ktorý na nich neleží. Zostrojte pravouholník \small ABCD s vrcholmi \small A, C, D postupne na priamkach \small a, c,P B. Kat. B; 2011/2012; domáce kolo; úloha 4. Riešenie - applet Tu.
  5. V rovine ω sú dané dva rôzne body \small O,T. Nájdite množinu vrcholov všetkých trojuholníkov, ktoré ležia v rovine \small ω a majú ťažisko v bode \small T a stred opísanej kružnice v bode \small O. Kat. A; 2008/2009; celoštátne kolo; úloha 6. Riešenie - applet Tu.
Rôzne úlohy.
  1. Dokážte, že os uhla \small ∡BAC a os protiľahlej strany \small BC sa pretínajú na opísanej kružnici \small k(ABC). Riešenie - applet Tu.
  2. Súčet protiľahlých uhlov v tetivovom štvoruholníku je rovný 180°. Riešenie - applet Tu.
Poznámky.
  1. Pozrite stránku "Zbierka úloh (MO kat. C a vybrané úlohy kat. B)", dostupné Tu.
  2. Cenný zdroj úloh nájdete v diplomovej práci "Porembová, A.: Matematický seminář pro talentované studenty. Brno 2019." Časti - november, december a marec, dostupné Tu. 
\( .\)
Posledná zmena: nedeľa, 22 októbra 2023, 16:25