Didaktika matematiky

Drak.
Kráľ má osem dcér. Určite, koľkými spôsobmi môže kráľ vybrať dve dcéry, ktoré chce zjesť stohlavý drak. Vzhľadom na to, že drak bude jesť obe princezné naraz, nezáleží na tom (na poradí), ktorú vyberieme ako prvú a ktorú ako druhú.

Riešenie.
Postupne vyberáme princezné na raňajky:

1. výber: 8 možností
2. výber: 7 možností

Celkom $\small  p = 8 \times 7 \times ...$ možností. Zrejme nemá cenu rozlišovať výbery typu princezná {Anna, Dana} od {Dana, Anna} resp. kráľov výber {Anna, Dana} je ten istý ako výber {Dana, Anna}. Pozrite si obrázok. Z matematického pohľadu: dvojicu {Anna, Dana} sme započítali dvakrát. Z toho dôvodu počet všetkých možných rôznych kráľových výberov bude rovný číslu $\frac{p}{2}$.
Záver: Každú možnosť sme započítali dvakrát. Preto počet možností ako nakŕmiť draka je polovičná: $p= \frac{8.7}{2} =28$.

Analogická a typická úloha pre stredné školy je sformulovaná takto:

Priamky.
V rovine je daných $\small  n$ bodov ( $\small  n \geq 2$ ), z ktorých žiadne tri neležia v jednej priamke. Určite, koľko rôznych priamok je určených týmito bodmi. Odvodený vzťah overte dosadením konkrétneho čísla miesto $\small  n$.

Riešenie.
Priamka je určená práve dvoma rôznymi bodmi (základná axióma euklidovskej roviny). Budeme hľadať, koľkými spôsobmi je možné vybrať dva rôzne body:

• prvý bod: $\small  n$ možností,
• druhý bod: $\small  n-1$ možností.

Ku každému bodu, ktorý sme vybrali ako prvý, môžeme vystriedať všetky body vybrané ako druhé. Celkový počet takto vybraných priamok je rovný číslu $\small  n.(n-1)$. Keďže každú možnosť sme započítali dvakrát, počet $\small  p$ rôznych priamok bude určený vzťahom (vzorcom) $p=\frac{n.(n-1)}{2}$.

• overíme vzťah: $\small  n=2$ jedna priamka, dosadením do $p=\frac{n.(n-1)}{2}$ dostaneme $\small  p=1$,
• pre $\small  n=4$ zrejme existuje 6 rôznych priamok, dosadením do $p=\frac{n.(n-1)}{2}$ dostaneme $p=\frac{4.3}{2}=6$, nakreslite takú situáciu.

Trojuholníky.
Je daný štvorec $\small ABCD$ a na každej z jeho strán je daných $\small  k$ vnútorných bodov. Určite počet trojuholníkov, ktoré majú vrcholy v týchto bodoch a na rôznych stranách štvorca $\small ABCD$.

Riešenie.
Budeme postupne vyberať body, z ktorých vytvoríme trojuholník a zároveň budeme sledovať koľkokrát každý trojuholník započítame. Napríklad trojuholník $\small A_2B_3D_1$ sme započítali až $6 \times =3 \times 2$ :
$\small A_2B_3D_1; B_3D_1A_2; D_1A_2 B_3$
$\small A_2D_1B_3; B_3A_2D_1; D_1B_3A_2$.
Celkový počet trojuholníkov je rovný číslu

$\frac{k.(k-1)(k-2)}{3.2.1} = \frac{k.(k-1)(k-2)!}{(k-3)!3!} = \binom {k} {3}$ .