GeoGebra v algebraickom učive: Sústava lineárnych rovníc

Sústava lineárnych rovníc

Lineárna rovnica.
Rovnicu tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$a \neq 0 \vee b \neq 0$ nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi

$\small x,y$ .

Rovnice tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$\small a \neq 0 \vee b \neq 0$

$\small dx+ey=f$ , kde

$\small d \neq 0 \vee e \neq 0$
nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:

dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
sčítaciu (adičnú) metódu;
porovnávaciu (komparačnú) metódu.

Dosadzovacia (substitučná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x - 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R.$

Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu

$x$ :

$\small 2x - 3y = 5 /+3y$

$\small 2x = 5 + 3y /:2$

$\small x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y$
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu

$x$ :

$\small \frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1$
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:

$\small \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2$

$\small 5 + 3y - 4y = 2$

$\small 5 - y = 2 /-5$

$\small -y = -3 / \cdot (-1)$

$\small y = 3$
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu

$x$ :

$\small x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7$
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L'_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P_1 = 5$

$\small L'_1 = P_1$

$\small L' _2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1$

$\small L'_2 = P_2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3].$

Cvičenie.
Riešte sústavu rovníc

$\small 3a - 5b = 1$

$\small 4a - 3b = 5$
s neznámymi

$a, b \in R$ dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].

Sčítacia (adičná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr.

$\small 2x+3y=4$ vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.

I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x – 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R$ .

Riešenie.
Chceme určiť napr. neznámu

$x$ , teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma

$y$ . Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.

$\small 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)$

$\small x - 2y = 1 / \cdot 3$

$\small -4x + 6y = -10$

$\small 3x - 6y = 3$

Teraz obe rovnice sčítame:

$\small -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10$

$\small -x = -7 / \cdot (-1)$

$\small x = 7$
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej

$\small x$ , ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu

$\small x$ :

$\small 7 - 2y = 1$ a z toho

$\small y = 3$ .
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P1 = 5$

$\small L´1 = P1$

$\small L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1$

$\small P2 = 1$

$\small L´2 = P2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3]$ .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc

$\small 5c - 3d = 1$

$\small -c - 7d = 15$
s neznámymi

$c, d \in R$ kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [c; d] = [ ; ].$

Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Vypočítajme príklad.

Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$