Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

GeoGebra v algebraickom učive

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Didaktika matematiky
Kniha: GeoGebra v algebraickom učive
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: nedeľa, 28 apríla 2024, 22:10

Opis

GeoGebra

Obsah

Pracovné prostredie


Pri algebraických výpočtoch môžeme využívame hlavne tri prostredia:

  1. Algebraické okno
  2. Počítačový algebraický systém (CAS)
  3. Práca s tabuľkami, maticami a so zoznamami prvkov

Pri  práci s textom s výhodou využívame rôzne formáty textu. Napríklad pri zapisovaní riešenia rovníc môžeme použiť
  1. zlomkový formát "ZlomokText" pre zlomky \frac{2}{3} alebo použijeme príkaz
  2. IracionálnyText( <Číslo> pre iracionálny tvar čísla 2+\sqrt{3} a komplexný tvar. 
\( .\)

Algebraické okno


Riešenie lineárnej rovnice 

               Applet otvoríte TU →

Vytvorte applety na riešenie
  1. kvadratických rovníc a nerovníc
  2. nerovníc s absolútnou hodnotou
  3. sústavy dvoch lineárnych rovníc

Matice, zoznamy

Riešte kvadratické rovnice
  1. x^{2} + x -12 = 0x^{2}+8x +7 = 0 x^{2} -7x +10 = 0  
  2. x^{2} + 5x -6 = 0 4x^{2} + 4x + 1 = 0 x^{2} + \frac{9}{10}x - 4 = 0
  3. 2 x^{2} +9x = 0 x^{2} -16x+48 = 0


Stiahni si applet TU
Vytvorte applet na riešenie sústavy troch lineárnych rovníc pomocou matíc
Applet si staihnete Tu→
\( .\)

Sústava lineárnych rovníc

Lineárna rovnica.
Rovnicu tvaru \small ax + by = c , kde a \neq 0 \vee b \neq 0 nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi \small x,y .
Rovnice tvaru
\small ax + by = c , kde \small a \neq 0 \vee b \neq 0
\small dx+ey=f , kde \small d \neq 0 \vee e \neq 0
nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:
  1. dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
  2. sčítaciu (adičnú) metódu;
  3. porovnávaciu (komparačnú) metódu.
Dosadzovacia (substitučná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc
\small 2x - 3y = 5
\small x - 2y = 1
s neznámymi \small x, y \in R.
Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu x :
\small 2x - 3y = 5 /+3y
\small 2x = 5 + 3y /:2
\small x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu x :
\small \frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
\small \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2
\small 5 + 3y - 4y = 2
\small 5 - y = 2 /-5
\small -y = -3 / \cdot (-1)
\small y = 3
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu x :
\small x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:  
\small L'_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5
\small P_1 = 5
\small L'_1 = P_1
\small L' _2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1
\small L'_2 = P_2
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica \small [x; y] = [7; 3].
Cvičenie.
Riešte sústavu rovníc
\small 3a - 5b = 1
\small 4a - 3b = 5
s neznámymi a, b \in R dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].

Sčítacia (adičná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr. \small 2x+3y=4 vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.

I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc
\small 2x - 3y = 5
\small x – 2y = 1
s neznámymi \small x, y \in R .
Riešenie.
Chceme určiť napr. neznámu x, teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma y. Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.
\small 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)
\small x - 2y = 1 / \cdot 3
\small -4x + 6y = -10
\small 3x - 6y = 3

Teraz obe rovnice sčítame:
\small -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10
\small -x = -7 / \cdot (-1)
\small x = 7
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej \small x, ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu \small x:
\small 7 - 2y = 1 a z toho \small y = 3.
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
\small L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5
\small P1 = 5
\small L´1 = P1
\small L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1
\small P2 = 1
\small L´2 = P2
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica \small [x; y] = [7; 3].

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
\small 5c - 3d = 1
\small -c - 7d = 15
s neznámymi c, d \in R kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica \small [c; d] = [ ; ].

Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
          Vypočítajme príklad.
Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc
\small 2x - 3y = 5
\small x - 2y = 1
s neznámymi\small  x, y \in R .
Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu \small x :
\small 2x - 3y = 5 / +3y
\small 2x = 5 + 3y /:2
\small x = 5/2 + 3/2y
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu \small x :
\small  x - 2y = 1 / +2y
\small  x = 1 + 2y
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu P1=P2 , ktorú vyriešime:
\small  1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2
\small  2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y
\small  y = 3
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
\small x = 1 + 2 \cdot 3 = 7
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade 1 a 3 .
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica \small [x; y] = [7; 3] .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
\small -3x + 2y = 0
\small 5x - 7y = -11
s neznámymi x, y \in R porovnávacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica \small [x; y] = [ ; ].
\( .\)

Sústava - riešenie



Otvorte Tu
\( .\)

Viac rovníc


Otvorte si applet Tu, iný variant Tu.
Poznámky.
Existuje viacero www stránok, ktoré pomáhajú pri riešení sústav lineárnych rovníc. Napríklad stránka "Matrix calculator", pozrite si Tu.
\( .\)

Kvadratické rovnice a CAS

Úprava algebraického výrazu a riešenie kvadratickej rovnice

                           →

Vytvorte zbierku na úpravu algebaických výrazov →
Vytvorte applet, ktorý bude zobrazovať graf kvadratickej funkcie, jej vrchol a nulové body (korene odpovedajúcej kvadratickej rovnice).

Stiahnite si postup konštrukcie Tu.  Stiahnite si applet Tu
\( .\)

Práca s textom

GeoGebra umožňuje zobrazovať text v rôznych formátoch
  1. Preddefinované štýly textu: Sans Serif, Serif, Bold, Kurzíva. Farby neobmedzene.
  2. Napríklad príkaz 
    3. \textbf \textit \textcolor{00005A} {Navy}  \; \textbf \textcolor{red} {Red} \; \textit \textbf  \textcolor{0BDF00} {Green}
    vytvorí text →
→
→
GeoGebra umožňuje 
  1. LaTeX zápisy, pričom je možné vkladať základné matematické výrazy a symboly. Užívateľ si môže vložiť vlastný TeX zápis. Pomoc pri výbere fontu TeX →
  2. Vytvoriť dynamický text: If( <Podmienka1>, <Text 1>, <Podmienka 2>, <Text 2>, ... , <Else (optional)> ) 
    • Vytvorí kópiu "Text 1", keď je splnená prvá podmienka, "Text 2", ak je splnená druhá podmienka atď.
    • Ak nie je splnená žiadna z podmienok a je daná Else, tento príkaz prináša kópiu Else.
    • V opačnom prípade sa vráti nedefinovaná.
    • Príklad: Ak (a ≟ 1, "Matthew", ≟ 2, "Larry", ≟ 3, "Vivian", "Alex")
      • Pre a = 1 to vráti text "Matthew", pre a = 2 vracia "Larry", pre a = 3 "Vivian" a pre všetky ostatné hodnoty to znamená "Alex".

Návrhy appletov

V tejto kapitole prezentujeme separované modely, ktoré môžeme použiť pri výklade alebo pri precvičovaní matematických pojmov.
A: Postup pri vytváraní separovaného modelu
  1. Určíme motivačný  background pre daný matematický pojem. Napr. teplomer ↔  záporné čísla.
  2. Podrobne popíšeme etapy na vytvorenie appletu v prostredí, pričom každá etapa 
    • predstavuje podrobný konštrukčný popis jednotlivých krokov
    • obsahuje zápisy príkazov v jazyku GeoGebry
  3. V závere sú uvedené ukážky nami hotovených appletov
B: Odkaz na externý separovaný model 
  1. Uvedieme stručný teoretický výklad pre danú matematickú oblasť. Napr. polárna sústava súradníc.
  2. Presmerujeme na materiál (book) na serveri Geogebra
\( .\)

Teplomer

Záporné čísla – separovaný model „Teplomer“
                               →
Postup pri tvorbe appletu Teplomer
  1. Vyhľadáme vhodný obrázok teplomera a upravíme ho tak, aby v strede bol prázdny (biely) rámik. Otvorte si zadanie TeplomerZad.
  2. V GeoGebre vytvoríme
    • dva posuvníky HORIZ, VERT, ktorými budeme posúvať obrázok
    • posuvník ZVAC, ktorým budeme zväčšovať resp. zmenšovať obrázok
    • dva body RDL (roh dolný ľavý), RDP (roh dolný pravý), ktorých poloha bude závislá od posuvníkov
    • obrázok TeplomerObr vložíme do nákresne a ukotvíme ho bodmi RDL, RDB
    • priamky LV, PV ako ľavá a pravá strana stredového rámika, v ktorom budú ukazovatele teploty (farebné obdĺžniky)

          
  3. Návrh ukazovateľov teploty - farebné obdĺžniky:  
    • v strede teplomera vytvoríme dynamický mnohouholník Tep1, ktorý bude predstavovať nárast teploty 
    • dolný pravý vrchol PocT1 mnohouholníka bude závislý od počiatočnej teploty - posuvníka PocT, vľavo od neho bod G
    • horný pravý vrchol NarT1 mnohouholníka bude závislý od nárastu teploty - posuvníka NarT, vľavo od neho bod G1

  4. Podobne zostrojíme mnohouholník, ktorý bude predstavovať pokles teploty
  5. Vytvoríme zoznamy bodov Zoznam1 a čísel Zoznam2, ktoré budú reprezentovať číselnú os pre zmenu teploty  
  6. Na číselnej osi pomocou vektorov znázorníme pokles resp. nárast teploty
  7. Navrhneme vhodné texty pre prácu s celými resp. so zápornými číslami

    8.          
\( .\)

Hodiny

Návrh hodín - pomôcka pri výklade a precvičovaní pojmu uhol 
Postup
  1. Zostrojíme "základ" hodín: stred, body H_{12}, R_h, R_m , posuvník pre čas, kružnice pre ciferníky minút a hodín  
    2.                    
  2. Navrhneme číselné hodnoty pre sekundy, minúty, hodiny, odpovedajúce uhly a rotácie: napr.  (MIN=R_m, -Min, Stred)
    3.                    
  3. Zostrojíme ručičky: pomocnú kružnicu v strede a k nej dotyčnice, ...
    4.                    
    Výsledky 
                       verzia A verzia B      →
                             
    Iné ukážky pre tematický celok uhol
         Odhad veľkosti uhla → 
         Meranie uhla →
\( .\)

Tvorba testu

Rozbaľovacie menu 
applet →
Ako používať tento súbor:
  1. V hlavnom menu GeoGebry si aktivujte: Algebraické okno, Nákresňa, Tabuľka 
  2. Do tabuľky vložte texty možných odpovedí pre plánované otázky (pozri priložený applet)
    • bunku A1 nechajte prázdnu
    • do bunky A2 vložte (napíšte) text prvej otázky Q1 , do A3 vložte Q2 , ...
    • do bunky B1 vložte (napíšte) text "Spätná väzba"
    • do bunky  B2 vložte (napíšte) text prvej spätnej väzby: správne resp. nesprávne, ...
  3. Vytvorte Tlačidlá: “Generovať Otázky  ...” a “Reset ...” a skopírujte ich skripty z priloženého appletu 
  4. Vytvorte potrebné zoznamy pre otázky (ZoznamOtazkaQ1) a spätnú väzbu (ZoznamSpatnaVazbaQ1). Použite pre: 
    • ZoznamOtazkaQ1: príkaz Zoznam alebo do vstupného poľa vložte \lbrace{A1, A2, A3, A4, A5}\rbrace
    • ZoznamSpatnaVazbaQ1: príkaz Zoznam alebo do vstupného poľa vložte \lbrace{B1, B2, B3, B4, B5}\rbrace
  5. Pre zobrazenie otázok v rozbaľovacej ponuke je potrebné v algebraickom okne:
    • kliknite na príslušný zoznam
    • vyberte vlastnosti
    • začiarknite políčko “Kresliť v rozbaľovacom zozname”, zobrazia sa odpovedajúce texty otázok
  6. Vytvorenie textového poľa pre spätnú väzbu zadajte vo vstupnom poli: 
    • Text(Prvok(ZoznamSpatnaVazbaQ1, VybratýIndex(ZoznamOtazkaQ1)))
  7. Podľa potreby upravte pozície pre rozbaľovacie zoznamy a textové polia.
  8. Vyskúšajte tlačidlo RESET a uvidíte, že zoznamy sa vrátia späť na prvý prvok v zozname.
\( .\)

Polárna sústava súradníc

Polárna sústava súradníc →
  1. Sústava súradníc (tzv. polárnych súradníc) v rovine, ktorá určuje polohu bodu  A dvoma parametrami:
    • vzdialenosťou r od začiatku sústavy súradníc 
    • orientovaným uhlom  \varphi  

     

  2. Tento systém je založený na
    • centrálnom bode O , ktorý sa nazýva pól
    • polpriamke o=OL (v karteziánskej sústave kladná časť osi x ), nazývame ju polárna os  
  3. Bod A je definovaný usporiadanou dvojicou A=(r, \varphi) kde r=OA je vzdialenosť od pólu O a \varphi je orientovaný uhol medzi polárnou osou a polpriamkou \vec{OA} .
  4. Polárne súradnice môžu byť konvertované na karteziánske súradnice pomocou trigonometrických funkcií:
    • x = r \cdot cos ( \varphi ), y = r \cdot sin ( \varphi )
  5. Karteziánske súradnice x,y môžu byť premenené na polárne súradnice v intervale (- \pi, \pi ) : r = \sqrt[]{x^2+y^2} , \varphi = tan^{-1} ( \frac{y}{x} )
  6. Polárne súradnice sa vo veľkej miere používajú
    • v navigácii, na modelovanie systémov, ktoré vykazujú radiálnu symetriu
    • napr. pre prietok podzemnej vody alebo radiálnu silu ako gravitačné polia
\( .\)