GeoGebra v algebraickom učive

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	GeoGebra v algebraickom učive

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	štvrtok, 4 júna 2026, 06:33

Opis

GeoGebra

Obsah

Pracovné prostredie
- Algebraické okno
- Matice, zoznamy
Sústava lineárnych rovníc
- Sústava - riešenie
- Viac rovníc
Kvadratické rovnice a CAS
Práca s textom
Návrhy appletov

Pracovné prostredie

Pri algebraických výpočtoch môžeme využívame hlavne tri prostredia:

Algebraické okno
Počítačový algebraický systém (CAS)
Práca s tabuľkami, maticami a so zoznamami prvkov

Pri práci s textom s výhodou využívame rôzne formáty textu. Napríklad pri zapisovaní riešenia rovníc môžeme použiť

zlomkový formát "" pre zlomky $\frac{2}{3}$ alebo použijeme príkaz
IracionálnyText( <Číslo> pre iracionálny tvar čísla $2+\sqrt{3}$ a komplexný tvar.

$$ .$ $

Algebraické okno

Lineárna funkcia - určenie koreňa

Cvičenie - algebraické okno.

Vytvorte applet, ktorý bude dynamicky zobrazovať lineárnu funkciu $y=ax+b$ , kde $a,b$ sú ľubovoľné reálne čísla.
Otvorte si nový GeoGebra súbor, v ktorom bude aktívne algebraické okno, nákresňa a postup konštrukcie.
Pomoc: návrh postupu konštrukcie nájdete Tu.

Generický model - riešenie odpovedajúcej lineárnej rovnice. ..

Pozrite si ukážku z práce Blahušiaková N. (2023) Lineárne rovnice. Dostupné Tu.

Domáce zadanie
Vytvorte applet pomocou ktorého zistíte, či bod

$A[a_x,a_y]$ leží na priamke zadanej predpisom

$y=ax+b$ .

$$ .$ $

Matice, zoznamy

Matice - zbierka

Cvičenie - riešte kvadratické rovnice.

Zbierka riešených príkladov - kvadratické rovnice. Applet Tu. ..

Domáce zadanie. Vytvorte applet na riešenie sústavy troch lineárnych rovníc pomocou matíc.
Ukážka Tu→

$$ .$ $

Sústava lineárnych rovníc

Lineárna rovnica.
Rovnicu tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$a \neq 0 \vee b \neq 0$ nazývame lineárnou rovnicou s dvoma neznámymi

$\small x,y$ .

Rovnice tvaru

$\small ax + by = c$ , kde

$\small a \neq 0 \vee b \neq 0$

$\small dx+ey=f$ , kde

$\small d \neq 0 \vee e \neq 0$
nazývame sústavou dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi.

Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:

dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
sčítaciu (adičnú) metódu;
porovnávaciu (komparačnú) metódu.

Dosadzovacia (substitučná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x - 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R.$

Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu

$x$ :

$\small 2x - 3y = 5 /+3y$

$\small 2x = 5 + 3y /:2$

$\small x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y$
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu

$x$ :

$\small \frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1$
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:

$\small \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2$

$\small 5 + 3y - 4y = 2$

$\small 5 - y = 2 /-5$

$\small -y = -3 / \cdot (-1)$

$\small y = 3$
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu

$x$ :

$\small x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7$
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L'_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P_1 = 5$

$\small L'_1 = P_1$

$\small L' _2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1$

$\small L'_2 = P_2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3].$

Cvičenie.
Riešte sústavu rovníc

$\small 3a - 5b = 1$

$\small 4a - 3b = 5$
s neznámymi

$a, b \in R$ dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].

Sčítacia (adičná) metóda.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr.

$\small 2x+3y=4$ vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.

Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.

I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.

Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x – 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R$ .

Riešenie.
Chceme určiť napr. neznámu

$x$ , teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma

$y$ . Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.

$\small 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)$

$\small x - 2y = 1 / \cdot 3$

$\small -4x + 6y = -10$

$\small 3x - 6y = 3$

Teraz obe rovnice sčítame:

$\small -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10$

$\small -x = -7 / \cdot (-1)$

$\small x = 7$
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej

$\small x$ , ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu

$\small x$ :

$\small 7 - 2y = 1$ a z toho

$\small y = 3$ .
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:

$\small L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5$

$\small P1 = 5$

$\small L´1 = P1$

$\small L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1$

$\small P2 = 1$

$\small L´2 = P2$
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3]$ .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc

$\small 5c - 3d = 1$

$\small -c - 7d = 15$
s neznámymi

$c, d \in R$ kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [c; d] = [ ; ].$

Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Vypočítajme príklad.

Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc

$\small 2x - 3y = 5$

$\small x - 2y = 1$
s neznámymi

$\small x, y \in R$ .

Riešenie.
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu

$\small x$ :

$\small 2x - 3y = 5 / +3y$

$\small 2x = 5 + 3y /:2$

$\small x = 5/2 + 3/2y$
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu

$\small x$ :

$\small x - 2y = 1 / +2y$

$\small x = 1 + 2y$
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu

$P1=P2$ , ktorú vyriešime:

$\small 1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2$

$\small 2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y$

$\small y = 3$
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:

$\small x = 1 + 2 \cdot 3 = 7$
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade

$1$ a

$3$ .
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [7; 3]$ .

Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc

$\small -3x + 2y = 0$

$\small 5x - 7y = -11$
s neznámymi

$x, y \in R$ porovnávacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica

$\small [x; y] = [ ; ].$

$$ .$ $

Sústava - riešenie

Otvorte si applet Tu. Postup konštrukcie v PDF formáte Tu.

$$ .$ $

Viac rovníc

Otvorte si applet Tu, variant B Tu, variant C Tu.

Poznámky.
Existuje viacero www stránok, ktoré pomáhajú pri riešení sústav lineárnych rovníc. Napríklad stránka "Matrix calculator", pozrite si Tu.

$$ .$ $

Kvadratické rovnice a CAS

Úprava algebraického výrazu a riešenie kvadratickej rovnice

Otvorte Tu.

Vytvorte zbierku na úpravu algebaických výrazov ..

Vytvorte applet, ktorý bude zobrazovať graf kvadratickej funkcie, jej vrchol a nulové body (korene odpovedajúcej kvadratickej rovnice).

Stiahnite si postup konštrukcie Tu. .

$$ .$ $

Práca s textom

GeoGebra umožňuje zobrazovať text v rôznych formátoch

Preddefinované štýly textu: Sans Serif, Serif, Bold, Kurzíva. Farby neobmedzene.
Napríklad príkaz

Navy

Red

Green

→

→

→

GeoGebra umožňuje

LaTeX zápisy, pričom je možné vkladať základné matematické výrazy a symboly. Užívateľ si môže vložiť vlastný TeX zápis. Pomoc pri výbere fontu TeX →
Vytvoriť dynamický text: If( <Podmienka1>, <Text 1>, <Podmienka 2>, <Text 2>, ... , <Else (optional)> )

Vytvorí kópiu "Text 1", keď je splnená prvá podmienka, "Text 2", ak je splnená druhá podmienka atď.
Ak nie je splnená žiadna z podmienok a je daná Else, tento príkaz prináša kópiu Else.
V opačnom prípade sa vráti nedefinovaná.
Príklad: Ak (a ≟ 1, "Matthew", ≟ 2, "Larry", ≟ 3, "Vivian", "Alex")

Pre a = 1 to vráti text "Matthew", pre a = 2 vracia "Larry", pre a = 3 "Vivian" a pre všetky ostatné hodnoty to znamená "Alex".

Návrhy appletov

V tejto kapitole prezentujeme separované modely, ktoré môžeme použiť pri výklade alebo pri precvičovaní matematických pojmov.

A: Postup pri vytváraní separovaného modelu

Určíme motivačný background pre daný matematický pojem. Napr. teplomer ↔ záporné čísla.
Podrobne popíšeme etapy na vytvorenie appletu v prostredí, pričom každá etapa

predstavuje podrobný konštrukčný popis jednotlivých krokov
obsahuje zápisy príkazov v jazyku GeoGebry

V závere sú uvedené ukážky nami hotovených appletov

B: Odkaz na externý separovaný model

Uvedieme stručný teoretický výklad pre danú matematickú oblasť. Napr. polárna sústava súradníc.
Presmerujeme na materiál (book) na serveri Geogebra

$$ .$ $

Teplomer

Záporné čísla – separovaný model „Teplomer“
→

Postup pri tvorbe appletu Teplomer

Vyhľadáme vhodný obrázok teplomera a upravíme ho tak, aby v strede bol prázdny (biely) rámik. Otvorte si zadanie TeplomerZad.
V GeoGebre vytvoríme

dva posuvníky HORIZ, VERT, ktorými budeme posúvať obrázok
posuvník ZVAC, ktorým budeme zväčšovať resp. zmenšovať obrázok
dva body RDL (roh dolný ľavý), RDP (roh dolný pravý), ktorých poloha bude závislá od posuvníkov
obrázok TeplomerObr vložíme do nákresne a ukotvíme ho bodmi RDL, RDB
priamky LV, PV ako ľavá a pravá strana stredového rámika, v ktorom budú ukazovatele teploty (farebné obdĺžniky)

Návrh ukazovateľov teploty - farebné obdĺžniky:

v strede teplomera vytvoríme dynamický mnohouholník Tep₁, ktorý bude predstavovať nárast teploty
dolný pravý vrchol PocT₁ mnohouholníka bude závislý od počiatočnej teploty - posuvníka PocT, vľavo od neho bod G
horný pravý vrchol NarT₁mnohouholníka bude závislý od nárastu teploty - posuvníka NarT, vľavo od neho bod G₁

Podobne zostrojíme mnohouholník, ktorý bude predstavovať pokles teploty
Vytvoríme zoznamy bodov Zoznam₁ a čísel Zoznam₂, ktoré budú reprezentovať číselnú os pre zmenu teploty
Na číselnej osi pomocou vektorov znázorníme pokles resp. nárast teploty
Navrhneme vhodné texty pre prácu s celými resp. so zápornými číslami

$$ .$ $

Hodiny

Návrh hodín - pomôcka pri výklade a precvičovaní pojmu uhol

Postup

Zostrojíme "základ" hodín: stred, body $H_{12}, R_h, R_m$ , posuvník pre čas, kružnice pre ciferníky minút a hodín

Navrhneme číselné hodnoty pre sekundy, minúty, hodiny, odpovedajúce uhly a rotácie: napr. $(MIN=R_m, -Min, Stred)$

Zostrojíme ručičky: pomocnú kružnicu v strede a k nej dotyčnice, ...

→

Iné ukážky pre tematický celok uhol

→

$$ .$ $

Tvorba testu

Rozbaľovacie menu

applet →

Ako používať tento súbor:

V hlavnom menu GeoGebry si aktivujte: Algebraické okno, Nákresňa, Tabuľka
Do tabuľky vložte texty možných odpovedí pre plánované otázky (pozri priložený applet)

bunku $A1$ nechajte prázdnu
do bunky $A2$ vložte (napíšte) text prvej otázky $Q1$ , do $A3$ vložte $Q2$ , ...
do bunky $B1$ vložte (napíšte) text "Spätná väzba"
do bunky $B2$ vložte (napíšte) text prvej spätnej väzby: správne resp. nesprávne, ...

Vytvorte Tlačidlá: “Generovať Otázky ...” a “Reset ...” a skopírujte ich skripty z priloženého appletu
Vytvorte potrebné zoznamy pre otázky (ZoznamOtazkaQ1) a spätnú väzbu (ZoznamSpatnaVazbaQ1). Použite pre:

ZoznamOtazkaQ1: príkaz Zoznam alebo do vstupného poľa vložte $\lbrace{A1, A2, A3, A4, A5}\rbrace$
ZoznamSpatnaVazbaQ1: príkaz Zoznam alebo do vstupného poľa vložte $\lbrace{B1, B2, B3, B4, B5}\rbrace$

Pre zobrazenie otázok v rozbaľovacej ponuke je potrebné v algebraickom okne:

kliknite na príslušný zoznam
vyberte vlastnosti
začiarknite políčko “Kresliť v rozbaľovacom zozname”, zobrazia sa odpovedajúce texty otázok

Vytvorenie textového poľa pre spätnú väzbu zadajte vo vstupnom poli:

Text(Prvok(ZoznamSpatnaVazbaQ1, VybratýIndex(ZoznamOtazkaQ1)))

Podľa potreby upravte pozície pre rozbaľovacie zoznamy a textové polia.
Vyskúšajte tlačidlo RESET a uvidíte, že zoznamy sa vrátia späť na prvý prvok v zozname.

$$ .$ $

Polárna sústava súradníc

Polárna sústava súradníc →

Sústava súradníc (tzv. polárnych súradníc) v rovine, ktorá určuje polohu bodu $A$ dvoma parametrami:

vzdialenosťou $r$ od začiatku sústavy súradníc
orientovaným uhlom $\varphi$

Tento systém je založený na

centrálnom bode $O$ , ktorý sa nazýva pól
polpriamke $o=OL$ (v karteziánskej sústave kladná časť osi $x$ ), nazývame ju polárna os

Bod $A$ je definovaný usporiadanou dvojicou $A=(r, \varphi)$ kde $r=OA$ je vzdialenosť od pólu $O$ a $\varphi$ je orientovaný uhol medzi polárnou osou a polpriamkou $\vec{OA}$ .
Polárne súradnice môžu byť konvertované na karteziánske súradnice pomocou trigonometrických funkcií:

$x = r \cdot cos ( \varphi ), y = r \cdot sin ( \varphi )$

Karteziánske súradnice $x,y$ môžu byť premenené na polárne súradnice v intervale $(- \pi, \pi )$ : $r = \sqrt[]{x^2+y^2}$ , $\varphi = tan^{-1} ( \frac{y}{x} )$
Polárne súradnice sa vo veľkej miere používajú

v navigácii, na modelovanie systémov, ktoré vykazujú radiálnu symetriu
napr. pre prietok podzemnej vody alebo radiálnu silu ako gravitačné polia

$$ .$ $