Predchádzajúci
Nasledujúci

Kvadratické rovnice

Štvrtý typ

Pre štvrtý typ Al-Chvarizmí uvádza:
"Čo sa týka štvorcov a koreňov rovných číslu; to ak napríklad povieš: štvorec a desať jeho koreňov je rovné tridsiatich deviatich dirhemům, to znamená, ak pridáš k niektorému štvorcu to, čo je rovné desiatim koreňom, dostaneš tridsať deväť". 
  1. Úloha: „Štvorec a desať jeho koreňov je rovných tridsiatim deviatim dirhemom".
  2. „Pravidlo je nasledujúce: 
    1. „Rozpoľ počet koreňov a získaš päť, násob to samo sebou a máš dvadsať päť" 
    2. „Výsledok pridaj k tridsiatim deviatim a máš šesťdesiat štyri.“
    3. „Nájdi z toho koreň, máš osem a odčítaj polovicu koreňov, čo je päť a zostanú ti tri".
    4. „To je koreň štvorca, ktorý hľadáš, a štvorec je deväť.“  
  1. Riešte rovnicu: x^2+10x=39 .
  2. Pravidlo (pre riešenie rovnice štvrtého typu x^2+10x=39 ):
    1. \frac{1}{2} z 10=5 \rightarrow 5 .5=25 v dnešnej terminológii   (x+5) ^2-25=39   
    2. 39+25=64 ...   (x+5) ^2=64   
    3. \sqrt{64} =8 ...  x+5=\sqrt{64} 
    4. 8-5 = 3 \Rightarrow x=3 ...  x = 8-5 \Rightarrow x=3
Al-Chvarizmí dokazuje správnosť postupu. Odvodenie je čisto geometrické. Uvádza tu dva rôzne spôsoby dôkazu. V oboch prípadoch ide o doplnenie na štvorec.
V prvom prípade máme:
  1. x^2+10x=39
  2. 39+25=64
  3. \sqrt{64} =8  
  4. 8-5=3=x    
V druhom prípade máme:
  1. x^2 + 4( \frac{10}{4} x)= x^2+10x=39  
  2. 39+4(\frac{25}{4})= 64  
  3. \sqrt{64} =2(\frac{10}{4})+x
  4. x=3                       
Táto rovnica sa neskôr stala súčasťou snáď všetkých učebníc algebry až do novoveku.
1) Al Chvarizmi, M.: Aritmeticky a algebraicky traktát. OPS, 2008, Nymburk. Str. 125.
\( .\) 
Predchádzajúci
Nasledujúci