Indo-arabská matematika
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Dejiny matematiky |
Kniha: | Indo-arabská matematika |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:25 |
Grécky vplyv
- Šalvasutry (Pravidlá povrazca) – „meračstvo“ (7. až 5. storočí pred n. l.)
- Siddhánty (Učenosti), Arjábhattija - vznikli vo 4. - 5. stor. n. l.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/158975/mod_book/chapter/2604/Indo1.jpg)
Al-Chwárizmího aritmetická kniha bola preložená do latinčiny. Pôvodný arabský text sa nezachoval. Prepracovanejšia verzia prekladu s arabskými číslami sa do kresťanskej Európy dostala v 12. storočí.
Al-Chwárizmí
- Kniha o sčítaní a odčítaní podľa indického počtu (Kitáb al-dam wa-t-tafrígh bi-hisáb al-Hind)
- Krátka kniha o počte algebry a al-muqábaly (Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala).
- V knihe sú objasnené číselné algoritmy pre aritmetické operácie v tejto sústave. Dochovala sa však len v latinskom preklade s názvom Libro algorismi de practica arismatrice (Algorizmova kniha o praxi aritmetiky) z polovice 12. storočia odkiaľ vzniklo slovo algoritmus.
- Jej prínos pre matematiku:
- Aritmetické operácie boli prevádzane v desiatkovej sústave.
- Prvé použitie nuly v zápise čísla bolo pravdepodobne v tejto práci.
- Prvá systematicky spracovaná práca o číselných sústavách.
- Al-Chwárizmi pri riešení kvadratických rovníc pracuje s objektmi: Mál, Káb, Džizr (jidhr), Šai, Dirhem.
- Mál môžeme interpretovať ako druhu mocninu neznámej:
.
- Káb ako tretiu mocninu neznámej:
. Vyššie mocniny vytvára opakovaním: málmál
, kábmál...
- Džizr
aj šai predstavuje premennú
ako koreň rovnice.
- Dirhem (dobová minca ) bol pojem pre náš absolútny člen rovnice. Bolo nim kladné prirodzené číslo, v niektorých prípadoch kladné racionálne číslo.
Jaromír Baštinec,Zdeňka Kubištová: Muhammad ibn Músa al-Chorezmi.Matematika v proměnách věků.I . Dostupné Tu.
Ukážky z traktátov
- štvorce
- korene
- jednoduché čísla, ktoré nie sú koreňové ani štvorcové.
Koreň je akékoľvek množstvo, ktoré sa má vynásobiť samo o sebe, skladajúce sa z jednotiek alebo čísel.
Štvorec je celé množstvo samotného koreňa."
![x^2=5x x^2=5x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b3aecb67c55fc85f9565bd86acdac7c1.png)
„Štvorec je dvadsaťpäť“ [...
![x^2=25 x^2=25](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f8feb61d862680f2d5a32e192eee3543.png)
„Koreň je päť“ [...
![x=5 x=5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f13a67bf9a63cbbac2f7d8483245e6dc.png)
![5x^2=10x 5x^2=10x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c4a14090198e1475954350240241fba.png)
„Jeden štvorec je rovný dvom koreňom“ [...
![x^2=2x x^2=2x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a35d3b2119e21dfb5ef1465fa8a6b01.png)
„Štvorec je štyri“ [...
![x^2=4 x^2=4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35d0de2fbb4f15f377d210ba3b954c7c.png)
„Koreň je dva“ [...
![x=2 x=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0adcda15ecef45c1af647f1c7dbbfcf5.png)
-
Al-jabr predstavuje metódu eliminácie záporných členov rovnice. K obidvom stranám rovnice pričítame rovnaké členy.
Napríklad vyraz
al-jabrou upravíme na tvar
- Al-muqábala kladné členy s rovnakou mocninou sú redukované tak, že každý objekt (Māl, Džizr, Dirhem) sa nachádza maximálne raz.
Aplikovaním al-muqábaly:
- Al-rad ak je koeficient pri najvyššej mocnine rôzny od jednotky, tak sa ním vydelí celá rovnica. Ak použijeme alrad:
- Al-ikmal ak je koeficient pri najvyššej mocnine je zlomok
, tak sa celá rovnica násobí číslom
.
V Európe sa slovo algebra ako názov vedy objavuje v 14. storočí.
Kvadratické rovnice
„Zistili sme, že všetko potrebné pre uskutočnenie výpočtov al-gābry a al-muqābaly ťa privedie k jednej zo šiestich kapitol, vyložených a vysvetlených mnou v tejto knihe. Vedz to."
- Štvorec koreňom rovný (Substantiae radices coaequant):
- Štvorec číslam rovný (Substantiae numeros coaequant):
- Korene číslam rovné (Radices numeros coaequant):
- Štvorec a korene číslam rovné (Substantia et radices numeros coaequant):
- Štvorec a čísla koreňom rovné (Substancia et numeri radices coaequant):
- Korene a čísla štvorcu rovné (Radices et numeri substantiam coaequant):
Prvý typ
- Zadanie: „Rozdelil si desať na dve časti, vynásobil si jednu z častí druhou a ďalej si vynásobil jednu z nich samu sebou.“
- Úloha: „Potom tento súčin sama so sebou sa stal rovným štvornásobku súčinu oboch časti".
- „Pravidlo je nasledujúce:
- „
Vezmi jednu z častí ako vec, potom druha je desať bez veci."
- „Vynásob vec krát desať bez veci, dostaneš desať vecí bez štvorca.“
- „Ďalej to násob štyrmi, ako ti bolo povedané: štyrikrát. Dostaneš štyri násobky jednej časti s druhou, to je štyridsať veci bez štyroch štvorcov.“
- „Potom násob vec vecou, to je jednu časť samu sebou. Dostaneš:štvorec je rovný štyridsiatim veciam bez štyroch štvorcov.“
- „Doplň to štyrmi štvorcami a pridaj ku štvorcu.Dostaneš: štyridsať veci je rovno piatim štvorcom.“
- „Preto je jeden štvorec rovný ôsmym koreňom, to je šesťdesiatštyri. Jeho koreň je osem. To je jedna z časti vynásobená sama sebou.“
- „Ostatok do desať je druha časť.
- Tato úloha ťa priviedla k jednému zo šiestich oddielov, menovite: štvorec rovný koreňom.“ (Al-Chwarizmi 2008, s. 134).
Štvrtý typ
- Úloha: „Štvorec a desať jeho koreňov je rovných tridsiatim deviatim dirhemom".
- „Pravidlo je nasledujúce:
- „Rozpoľ počet koreňov a získaš päť, násob to samo sebou a máš dvadsať päť"
- „Výsledok pridaj k tridsiatim deviatim a máš šesťdesiat štyri.“
- „Nájdi z toho koreň, máš osem a odčítaj polovicu koreňov, čo je päť a zostanú ti tri".
- „To je koreň štvorca, ktorý hľadáš, a štvorec je deväť.“
Piaty typ
- Zadanie: „Rozdelil som desať na dve časti, vynásobil som potom každú z nich samu sebou.“
- Úloha: „Keď som ich sčítal, súčet bol päťdesiat osem dirhemov".
- Výpočet
- Vezmi jednu z častí ako vec a druhu ako desať bez veci.
- Vynásob desať bez veci samu sebou, získaš sto a štvorec bez dvadsať veci.
- Potom vynásob vec samu sebou, to je štvorec.
- Všetko spolu sčítaj. Súčet je sto a dva štvorce bez dvadsiatich veci, ktoré sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom.
- Vezmi teraz dvadsať záporných veci zo sto a dvoch štvorcov a pridaj ich k päťdesiatim ôsmim. Potom sto a dva štvorce sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom a dvadsiatim veciam.
- Preveď to na jeden štvorec, teda medzi polovicu toho, čo máš. Získaš päťdesiat dirhemov a štvorec, ktoré sú rovné dvadsiatim deviatim dirhemom a desiatim veciam.
- Potom preveď to, odčítaním dvadsať deväť od päťdesiat. Zostane dvadsať jeden a štvorec, ktoré sú rovné desiatim veciam. Teraz Al-Chvarizmi využije "substitúciu": Nech sú korene rovnice
- Polovica čísla koreňov je päť a násobená sama sebou je dvadsaťpäť.
- Odober od toho dvadsaťjeden, ktoré sú spojene so štvorcom a zostatok sú štyri.
-
- Nájdi koreň, to je dva.
![x_1 = p, x_2 = q x_1 = p, x_2 = q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0be1631e56c5633267ccef7deb1a3e41.png)
-
Al-Chvarizmi poznal vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice!
![x_2=\frac {p+q}{2}-\frac {p-q}{2}=5-2=3 x_2=\frac {p+q}{2}-\frac {p-q}{2}=5-2=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7993fdc9633af1f0138a5a012e156b0f.png)
![x_1=\frac {p+q}{2} +\frac {p-q}{2}=5+2=7 x_1=\frac {p+q}{2} +\frac {p-q}{2}=5+2=7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/890ea7cac23be8c26fe5437bfe8ebc43.png)
Záver
Al-Chvarizmí patrí medzi najvýznamnejších matematikov všetkých dôb. Dal meno celej jednej vetve matematiky - algebre.
Jeho meno je v latinizovanej forme súčasťou všetkých moderných jazykov ako slovo algoritmus.
Rozhodujúca je jeho propagácia indickej pozičnej desiatkovej sústavy a systematizácia postupov pre riešenie lineárnych a kvadratických rovníc.
V predslove k svojmu algebraickému traktátu píše, že sa snažil o zostavení príručky podľa potrieb praxe. Nejde teda o vedeckú prácu, ale o učebnicu. A to o veľmi dobrú učebnicu, ktorá slúžila svojmu účelu mnoho stoviek rokov. V knižnici v Drážďanoch je zachovaný prepis al-Chorezmiho algebry zo 14. storočia.
V úvode k svojmu algebraickému spisu al-Chvarizmí píše:
Kým jednej časti učencov náleží priorita objavu, objasňuje druhá skupina obtiažna miesta v prácach svojich predchodcov a tým uľahčuje ich pochopenie. Iní učenci sa potom zaoberajú systematizováním už existujúcich vedomostí, pričom opravujú nepresnosti a zdokonaľujú myšlienky svojich spolupracovníkov. A to všetko "bez pýchy a hrdosti v duši".
Úlohy
Vypracujte seminárnu prácu na tému "V čom ma zaujala Indo-arabská matematika".
Použite literatúru "Aritmetický a algebraický traktát Al Chvárizmí".