Indo-arabská matematika

Indo-arabská matematika sa vyvíjala pod vplyvom gréckej matematiky.

1. Šalvasutry (Pravidlá povrazca) – „meračstvo“ (7. až 5. storočí pred n. l.)
2. Siddhánty (Učenosti), Arjábhattija - vznikli vo 4. - 5. stor. n. l.

Zásadný vplyv na rozvoj aritmetiky a algebry mala práca:

Al-Chwárizmího aritmetická Krátka kniha o počte algebry a al-muqábaly prináša dekadickú číselnú sústavu 
                                       
Al-Chwárizmího aritmetická kniha bola preložená do latinčiny. Pôvodný arabský text sa nezachoval. Prepracovanejšia verzia prekladu s arabskými číslami sa do kresťanskej Európy dostala v 12. storočí.

Poznámky.
Al-Chwárizmího aritmetická Krátka kniha o počte algebry a al-muqábaly prináša dekadickú číselnú sústavu. "Krátka kniha o počte algebry a al-muqábaly" od Muhammada ibn Músu al-Chwárizmího je dostupná na stránke Internet Archive v arabskom origináli pod názvom "Algebra al-Khwarizmi (Kitab fi al-Jabr wa al-Muqabala)".  Tu

Český preklad tohto diela bol publikovaný v knihe "Aritmetický a algebraický traktát", ktorú vydala spoločnosť OPS v roku 2009. Táto publikácia obsahuje preklad oboch traktátov al-Chwárizmího spolu s komentárom Petra Vopěnku. 

Arabskí matematici dosiahli významné algebrické úspechy medzi 9. –15. storočím. Najvýznamnejším z nich bol Al-Chwárizmi
                                              ...

Al-Chwárizmi celým menom Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi al-Madžusi (780-850). Napísal niekoľko matematických prác. Do histórie vstúpili Al-Chwarizmiho dve knihy:   

• Kniha o sčítaní a odčítaní podľa indického počtu (Kitáb al-dam wa-t-tafrígh bi-hisáb al-Hind)
• Krátka kniha o počte algebry a al-muqábaly (Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb al-džabr wa-l-muqábala).
  

 Kniha o sčítaní bola prvým arabským traktátom, kde je popísaný hinduistický (indický) pozičný desiatkový systém s nulou

1. V knihe sú objasnené číselné algoritmy pre aritmetické operácie v tejto sústave.  Dochovala sa však len v latinskom preklade s názvom Libro algorismi de practica arismatrice (Algorizmova kniha o praxi aritmetiky) z polovice 12. storočia odkiaľ vzniklo slovo algoritmus. 
2. Jej prínos pre matematiku: 
• Aritmetické operácie boli prevádzane v desiatkovej sústave. 
• Prvé použitie nuly v zápise čísla bolo pravdepodobne v tejto práci. 
• Prvá systematicky spracovaná práca o číselných sústavách.

V knihe je popísaný návod na čítanie veľkých čísel. 

Napríklad číslo 1 180 703 051 492 863, Al-Chwárizmi číta:  Jeden tisíc tisícov tisícov tisícov tisícov (päťkrát ) a potom sto tisíc tisícov tisícov tisícov a osemdesiat tisíc tisícov tisícov tisícov (štyrikrát ) a potom sedemdesiat tisíc tisícov tisícov a tri tisíce tisícov tisícov (trikrát ) a potom päťdesiat jeden tisíc tisícov (dvakrát ) a potom štyristotisíc a deväťdesiatdvatisíc a osemstošesťdesiat tri.  

Na knihe o algebre je pozoruhodné, že všetko vyjadruje slovne. 

1. Al-Chwárizmi pri riešení kvadratických rovníc pracuje s objektmi: Mál, Káb, Džizr (jidhr), Šai, Dirhem. 
• Mál môžeme interpretovať ako druhu mocninu neznámej: $x^2$. 
• Káb ako tretiu mocninu neznámej: $x^3$. Vyššie mocniny vytvára opakovaním: málmál  $x^4$, kábmál... 
2. Džizr aj šai predstavuje premennú $x$ ako koreň rovnice.
3. Dirhem  (dobová minca ) bol pojem pre náš absolútny člen rovnice. Bolo nim kladné prirodzené číslo, v niektorých prípadoch kladné racionálne číslo.  

Pozrite si práce:

1. Kvasz, L., Rétorická algebra v arabsko-islámskom svete.
2. Vojáček, J., (2021). Řešení algebraických úloh v historii a ve třídě. Univerzita Karlova Pedagogická fakulta, Katedra matematiky a didaktiky matematiky Praha. Diplomová práca. Dostupné Tu.
3. Baštinec, J., Kubištová, Z., Muhammad ibn Músa al-Chorezmi.Matematika v proměnách věků.I . Dostupné Tu.

Definícia.
Completion and Reduction (Dokončenie a zníženie) ¹⁾

„Pozoroval som, že čísla, ktoré sa požadujú pri výpočte sú troch druhov:

1. štvorce
2. korene
3. jednoduché čísla, ktoré nie sú koreňové ani štvorcové.

Jednoduché číslo je akékoľvek číslo, ktoré možno vysloviť bez odkazu na koreň alebo štvorec.
Koreň je akékoľvek množstvo, ktoré sa má vynásobiť samo o sebe, skladajúce sa z jednotiek alebo čísel.
Štvorec je celé množstvo samotného koreňa."

Ukážky.
Číslo patriace do jednej z troch tried sa môže rovnať počtu iných tried. Môžete napríklad povedať:
„Štvorec sa rovná piatim koreňom“ [v súčasnej terminológii $x^2=5x$], čo je to isté ako
„Štvorec je dvadsaťpäť“ [... $x^2=25$] alebo
„Koreň je päť“ [... $x=5$] .

Iný príklad.
„Päť štvorcov je rovné desiatim koreňom“ [... $5x^2=10x$]
„Jeden štvorec je rovný dvom koreňom“ [... $x^2=2x$]
„Štvorec je štyri“ [... $x^2=4$]
„Koreň je dva“ [... $x=2$].

Definícia.
Al-Chwárizmi používal štyri aritmetické úpravy

1. Al-jabr predstavuje metódu eliminácie záporných členov rovnice. K obidvom stranám rovnice pričítame rovnaké členy. Napríklad vyraz $x^2=40x-4x^2$ al-jabrou upravíme na tvar $x^2+4x^2=40x.$
2. Al-muqábala kladné členy s rovnakou mocninou sú redukované tak, že každý objekt (Māl, Džizr, Dirhem) sa nachádza maximálne raz. Aplikovaním al-muqábaly: $x^2+4x^2=40x \rightarrow 5x^2=40x.$
3. Al-rad ak je koeficient pri najvyššej mocnine rôzny od jednotky, tak sa ním vydelí celá rovnica. Ak použijeme alrad: $5x^2=40x \rightarrow x^2=8x.$
4. Al-ikmal ak je koeficient pri najvyššej mocnine je zlomok $1/k$ , tak sa celá rovnica násobí číslom $k$.

Poznámky.
Názov operácie al-jabr sa začal používať na označenie celej náuky o rovniciach.
V Európe sa slovo algebra ako názov vedy objavuje v 14. storočí.

Al-Chwárizmi vo svojom traktáte píše:
„Zistili sme, že všetko potrebné pre uskutočnenie výpočtov al-gābry a al-muqābaly ťa privedie k jednej zo šiestich kapitol, vyložených a vysvetlených mnou v tejto knihe. Vedz to."

 Al-Chwárizmi riešenie kvadratických rovníc rozdeľuje do šiestich skupín

Definícia.
Šesť typov Al-Chwárizmiho kapitol (problémov):

1. Štvorec koreňom rovný (Substantiae radices coaequant): $x^2=bx$ 
2. Štvorec číslam rovný (Substantiae numeros coaequant):  $x^2=c$ 
3. Korene číslam rovné (Radices numeros coaequant):          $bx=c$ 
4. Štvorec a korene číslam rovné (Substantia et radices numeros coaequant): $x^2+bx=c$ 
5. Štvorec a čísla koreňom rovné (Substancia et numeri radices coaequant):   $x^2+c=bx$  
6. Korene a čísla štvorcu rovné (Radices et numeri substantiam coaequant):   $bx+c=x^2$ 

Ukážka
"al-jabr" a "al-muqābaly" pri riešení rovnice prvého typu.

1. Zadanie: „Rozdelil si desať na dve časti, vynásobil si jednu z častí druhou a ďalej si vynásobil jednu z nich samu sebou.“
2. Úloha: „Potom tento súčin sama so sebou sa stal rovným štvornásobku súčinu oboch časti".
3. „Pravidlo je nasledujúce: 
1. „ Vezmi jednu z častí ako vec, potom druha je desať bez veci." 
   
2. „Vynásob vec krát desať bez veci, dostaneš desať vecí bez štvorca.“
3. „Ďalej to násob štyrmi, ako ti bolo povedané: štyrikrát. Dostaneš štyri násobky jednej časti s druhou, to je štyridsať veci bez štyroch štvorcov.“ 
4. „Potom násob vec vecou, to je jednu časť samu sebou. Dostaneš:štvorec je rovný štyridsiatim veciam bez štyroch štvorcov.“ 
5. „Doplň to štyrmi štvorcami a pridaj ku štvorcu.Dostaneš: štyridsať veci je rovno piatim štvorcom.“
6. „Preto je jeden štvorec rovný ôsmym koreňom, to je šesťdesiatštyri. Jeho koreň je osem. To je jedna z časti vynásobená sama sebou.“  
7. „Ostatok do desať je druha časť. 
4. Tato úloha ťa priviedla k jednému zo šiestich oddielov, menovite: štvorec rovný koreňom.“ (Al-Chwarizmi 2008, s. 134).

Symbolický zápis

1. Zadanie: $10 \rightarrow {\binom {x} {10-x} } \rightarrow {x(10-x)} \wedge { x^2}$.
2. Riešte rovnicu: $x^2=4[x(10-x)]$.
3. Pravidlo (pre riešenie rovnice prvého typu $x^2=8x$ ):
1. $x\rightarrow 10-x$ 
   
2. $x(10-x) \rightarrow 10x-x^2$ 
3. $4(10x-x^2 ) \rightarrow 40x-4x^2$
4. $x^2=40x-4x^2$
5. $5x^2=40x$
6. $x^2=8x(=64 )\rightarrow x=8$
7. $10-x=2$
   

Pre štvrtý typ Al-Chvarizmí uvádza:

Čo sa týka štvorcov a koreňov rovných číslu; to ak napríklad povieš: štvorec a desať jeho koreňov je rovné tridsiatich deviatich dirhemům, to znamená, ak pridáš k niektorému štvorcu to, čo je rovné desiatim koreňom, dostaneš tridsať deväť

Úloha.
„Štvorec a desať jeho koreňov je rovných tridsiatim deviatim dirhemom".

„Pravidlo je nasledujúce: 

1. „Rozpoľ počet koreňov a získaš päť, násob to samo sebou a máš dvadsať päť" 
   
2. „Výsledok pridaj k tridsiatim deviatim a máš šesťdesiat štyri.“
3. „Nájdi z toho koreň, máš osem a odčítaj polovicu koreňov, čo je päť a zostanú ti tri".
4. „To je koreň štvorca, ktorý hľadáš, a štvorec je deväť.“  

Symbolický zápis

1. Riešte rovnicu: $x^2+10x=39$.
2. Pravidlo (pre riešenie rovnice štvrtého typu $x^2+10x=39$ ):
1. $\frac{1}{2} z 10=5 \rightarrow 5 .5=25$ v dnešnej terminológii $(x+5) ^2-25=39$  
   
2. $39+25=64$ ... $(x+5) ^2=64$  
3. $\sqrt{64} =8$ ... $x+5=\sqrt{64}$
4. $8-5 = 3 \Rightarrow x=3$ ... $x = 8-5 \Rightarrow x=3$

Geometrický dôkaz

Al-Chvarizmí dokazuje správnosť postupu. Odvodenie je čisto geometrické. Uvádza tu dva rôzne spôsoby dôkazu. V oboch prípadoch ide o doplnenie na štvorec.
V prvom prípade máme:

1. $x^2+10x=39$
2. $39+25=64$
3. $\sqrt{64} =8$ 
4. $8-5=3=x$    

V druhom prípade máme:

1. $x^2 + 4( \frac{10}{4} x)= x^2+10x=39$ 
2. $39+4(\frac{25}{4})= 64$ 
3. $\sqrt{64} =2(\frac{10}{4})+x$
4. $x=3$                       

Táto rovnica sa neskôr stala súčasťou snáď všetkých učebníc algebry až do novoveku.

Ukážka.
Piaty Al-Chwárizmiho problém objasňuje operácie al-jabr, al-muqābala a al-radd 

1. Zadanie: „Rozdelil som desať na dve časti, vynásobil som potom každú z nich samu sebou.“
2. Úloha: „Keď som ich sčítal, súčet bol päťdesiat osem dirhemov".
3. Výpočet  
1. Vezmi jednu z častí ako vec a druhu ako desať bez veci.
2. Vynásob desať bez veci samu sebou, získaš sto a štvorec bez dvadsať veci.
3. Potom vynásob vec samu sebou, to je štvorec.
4. Všetko spolu sčítaj. Súčet je sto a dva štvorce bez dvadsiatich veci, ktoré sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom. 
5. Vezmi teraz dvadsať záporných veci zo sto a dvoch štvorcov a pridaj ich k päťdesiatim ôsmim. Potom sto a dva štvorce sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom a dvadsiatim veciam.
6. Preveď to na jeden štvorec, teda medzi polovicu toho, čo máš. Získaš päťdesiat dirhemov a štvorec, ktoré sú rovné dvadsiatim deviatim dirhemom a desiatim veciam.
7. Potom preveď to, odčítaním dvadsať deväť od päťdesiat. Zostane dvadsať jeden a štvorec, ktoré sú rovné desiatim veciam.
Teraz Al-Chvarizmi využije "substitúciu": Nech $p,q$ sú korene rovnice (v našom ponímaní: $x^2+c=bx$). Potom
1. $\large \frac {p+q}{2}=\frac{b}{2}= \frac{10}{2} =5$
2. $p.q=c=21$ ;
Al-Chvarizmi poznal vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice! .
Al-Chvárizmi toto tvrdenie dokazuje geometricky. Pozrite si prácu (Katz: A History of Mathematics An Introduction. Str. 23-24). Dostupné Tu.
8. Polovica čísla koreňov je päť a násobená sama sebou je dvadsaťpäť. 
9. Odober od toho dvadsaťjeden, ktoré sú spojene so štvorcom a zostatok sú štyri. 
10.  $\frac {p-q}{2}= \sqrt{(\frac {p+q}{2})^2-pq}=\sqrt{(25-21}$
11. Nájdi koreň, to je dva. 

Výsledok: "Odober koreň od zvyšku (od polovice - od piatich), zostanú ti tri. Toto je jedna z častí, druhá je sedem.“ 
                      $x_2=\frac {p+q}{2}-\frac {p-q}{2}=5-2=3$,    $x_1=\frac {p+q}{2} +\frac {p-q}{2}=5+2=7$

Symbolický zápis

1. Zadanie: $10 \rightarrow {\binom {x} {10-x} } \rightarrow {(10-x)^2} \wedge { x^2}$.
2. Riešte rovnicu: ${(10-x)^2} + { x^2}=58$.
3. Pravidlo – riešenie rovnice:
1. $x\wedge 10-x$ 
   
2. $(10-x)(10-x)=100+x^2-20x$ 
3. $x^2$
   
4. $100+x^2-20x+x^2=58\rightarrow$$100+2x^2-20x=58$
5. $100+2x^2=58+20x$
6. $50+x^2=29+10x$
7. $21+x^2=10x$
   
8. $\frac{1}{2} z 10 \rightarrow 5$
9. $\sqrt{25-21}=2 \rightarrow p=2$
   
10. $x=5-2=3$