Predchádzajúci
Nasledujúci

Kvadratické rovnice

Piaty typ

 Piaty Al-Chwárizmiho problém objasňuje operácie al-jabr, al-muqābala a al-radd 
  1. Zadanie: „Rozdelil som desať na dve časti, vynásobil som potom každú z nich samu sebou.“
  2. Úloha: „Keď som ich sčítal, súčet bol päťdesiat osem dirhemov".
  3. Výpočet  
    1. Vezmi jednu z častí ako vec a druhu ako desať bez veci. 
    2. Vynásob desať bez veci samu sebou, získaš sto a štvorec bez dvadsať veci. 
    3. Potom vynásob vec samu sebou, to je štvorec. 
    4. Všetko spolu sčítaj. Súčet je sto a dva štvorce bez dvadsiatich veci, ktoré sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom. 
    5. Vezmi teraz dvadsať záporných veci zo sto a dvoch štvorcov a pridaj ich k päťdesiatim ôsmim. Potom sto a dva štvorce sú rovne päťdesiatim ôsmim dirhemom a dvadsiatim veciam. 
    6. Preveď to na jeden štvorec, teda medzi polovicu toho, čo máš. Získaš päťdesiat dirhemov a štvorec, ktoré sú rovné dvadsiatim deviatim dirhemom a desiatim veciam. 
    7. Potom preveď to, odčítaním dvadsať deväť od päťdesiat. Zostane dvadsať jeden a štvorec, ktoré sú rovné desiatim veciam. 
      8. Teraz Al-Chvarizmi využije "substitúciu": Nech sú korene rovnice x_1 = p, x_2 = q . Potom 
        1. \frac {p+q}{2}= \frac{10}{2} =5
        2.   p*q=21  
        Al-Chvarizmi poznal vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice!
    8. Polovica čísla koreňov je päť a násobená sama sebou je dvadsaťpäť. 
    9. Odober od toho dvadsaťjeden, ktoré sú spojene so štvorcom a zostatok sú štyri. 
    10.   \frac {p-q}{2}= \sqrt{(\frac {p+q}{2})^2-pq}=\sqrt{(25-21}
    11. Nájdi koreň, to je dva. 
Výsledok: "Odober koreň od zvyšku (od polovice - od piatich), zostanú ti tri. Toto je jedna z častí, druhá je sedem.“ 
                      x_2=\frac {p+q}{2}-\frac {p-q}{2}=5-2=3,    x_1=\frac {p+q}{2} +\frac {p-q}{2}=5+2=7
I have divided ten into two parts; I have then multiplied each of them by itself, and when I had added the products together, the sum was fifty-eight dirhams. Computation: Suppose one of the two parts to be thing, and the other ten minus thing. Multiply ten minus thing by itself; it is a hundred and a square minus twenty things. Then multiply thing by thing; it is a square. Add both together. The sum is a hundred, plus two squares minus twenty things, which are equal to fifty-eight dirhams. Take now the twenty negative things from the hundred and the two squares, and add them to fifty-eight; then a hundred, plus two squares, are equal to fifty-eight dirhams and twenty things. Reduce this to one square, by taking the moiety of all you have. It is then: fifty dirhams and a square, which are equal to twenty-nine dirhams and ten things. Then reduce this, by taking twenty-nine from fifty; there remains twenty-one and a square, equal to ten things. Halve the number of the roots, it is five; multiply this by itself, it is twenty-five; take from this the twenty one which are connected with the square, the remainder is four. Extract the root, it is two. Subtract this from the moiety of the root$, namely, from five, there remain three. This is one of the portions; the other is seven. This question refers you to one of the six cases, namely "squares and numbers equal to roots.
  1. Zadanie: 10 \rightarrow {\binom {x} {10-x} } \rightarrow {(10-x)^2} \wedge { x^2} .
  2. Riešte rovnicu: {(10-x)^2} + { x^2}=58.
  3. Pravidlo – riešenie rovnice:
    1. x\wedge 10-x  
    2. (10-x)(10-x)=100+x^2-20x  
    3. x^2
    4. 100+x^2-20x+x^2=58\rightarrow 100+2x^2-20x=58
    5. 100+2x^2=58+20x
    6. 50+x^2=29+10x
    7. 21+x^2=10x
    8. \frac{1}{2} z 10 \rightarrow 5
    9. \sqrt{25-21}=2 \rightarrow p=2
    10. x=5-2=3
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci