Didaktika matematiky

Dôkaz: (upravený podľa českého prekladu Euklidových Základov)
Nech akákoľvek priamka $AB$ stojaca na priamke $CD$ vytvára uhly $CBA, ABD$ . Hovorím, že buď uhly $CBA, ABD$ sú dva pravé uhly alebo ich súčet sa rovná dvom pravým uhlom.
                    

1. Ak sa teraz uhol $CBA$ rovná uhlu $ABD$ , potom sú to dva pravé uhly. Def.10
2. Ale ak nie, nakreslite $BE$ z bodu $B$ v pravom uhle k $CD$ . Preto uhly $CBE,EBD$ sú dva pravé uhly. T.11  
3. Pretože uhol $CBE$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $CBA, ABE$ , pridajte uhol $EBD$ ku každému, takže súčet uhlov $CBE, EBD$ sa rovná súčtu troch uhlov $CBA, ABE, EBD$ . Z.2, Z.4
4. Pretože uhol $DBA$ sa rovná súčtu dvoch uhlov $DBE, EBA$ , ku každému z nich pridajte uhol $ABC$ , preto sa súčet uhlov $DBA, ABC$ rovná súčtu troch uhlov $DBE, EBA, ABC$ . Z.2, Z.5
5. Ale súčet uhlov $CBE,EBD$ sa tiež ukázal byť rovný súčtu rovnakých troch uhlov a veci, ktoré sa rovnajú rovnakému, sa rovnajú rovnako sebe, preto súčet uhlov $CBE, EBD$ sa rovná súčtu uhlov $DBA, ABC$ . Uhly , $CBE, EBD$ sú však dva pravé uhly, takže súčet uhlov $DBA, ABC$ sa tiež rovná dvom pravým uhlom. Z.1, Z.6
6. Preto ak priama čiara stojí na priamke, vytvára buď dva pravé uhly alebo uhly, ktorých súčet sa rovná dvom pravým uhlom. 1 2 3