Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami

Vytvorte si podkapitolu s názvom "Euklidove Základy" v knihe "Moja 1. kniha", v ktorej budú prezentované niektoré dôkazy Euklidových tvrdení o uhloch, trojuholníkoch, ...
     • Ukážka/applet tvrdenia T16 .
     • Pozrite si prepisy niektorých Euklidových tvrdení Texty tvrdení

Matematická olympiáda kategória Z

1. Prokop zostrojil trojuholník $ABC$, ktorého vnútorný uhol pri vrchole $A$ bol väčší ako $60^\circ$ a vnútorný uhol pri vrchole $B$ bol menší ako $60^\circ$. Juraj narysoval v polrovine určenej priamkou $AB$ a bodom $C$ bod $D$, a to tak, že trojuholník $ABD$ bol rovnostranný. Potom chlapci zistili, že trojuholníky $ACD$ a $BCD$ sú rovnoramenné s hlavným vrcholom $D$. Určte veľkosť uhla $∡ACB$.(MO, kat. Z7, 2017/18)
   Nápad. Nájdite vzťahy medzi vnútornými uhlami uvedených trojuholníkov. Riešenie
   
   1. Veľkosti vnútorných uhlov v trojuholníku $ABC$ označíme postupne $α, β, γ$.
   2. V rovnostrannom trojuholníku $BCD$ majú všetky vnútorné uhly veľkosť $60^\circ$.
   3. Zhodné uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka $BCD$ majú veľkosť $|\angle BCD|=|\angle CBD|=|\angle ABD|−|\angle ABC|= 60^\circ−β$.
   4. Zhodné uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka $ACD$ majú veľkosť $|\angle ACD|=|\angle CAD|=|\angle CAB|−|\angle DAB|= α−60^\circ$.
   5. Veľkosť neznámeho uhla $ACB$ môžeme vyjadriť ako $γ =|\angle ACD|−|\angle BCD|= (α−60^\circ)−(60^\circ−β) = α + β −120^\circ$.
   6. Súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku $ABC$ je $180^\circ$, teda $α + β +(α + β −120^\circ) = 180^\circ$, z čoho vyplýva $α + β = 150^\circ$.
   7. Uhol $ACB$ má veľkosť $γ = 150^\circ−120^\circ◦ = 30^\circ$.
2. V ostrouhlom trojuholníku $KLM$ má uhol $KLM$ veľkosť $68^\circ$. Bod $V$ je priesečníkom výšok a $P$ je pätou výšky na stranu $LM$. Os uhla $PVM$ je rovnobežná so stranou $KM$. Porovnajte veľkosti uhlov $MKL$ a $LMK$. (MO, kat. Z8, 2017/18)
   Nápad. Uvažujte os súmernosti uhla $PVQ$.
Riešenie

1. Os uhla $PVM$ je kolmá na os uhla $PVQ$ - sú to osi vrcholových uhlov.
2. Keďže os uhla $\varphi =\angle PVQ$ je zároveň kolmá na rovnobežku $r=MK$, tak je zároveň výškou v trojuholníku $KLM$.
3. Trojuholník $KLM$ musí byť rovnoramenný s hlavným vrcholom $L$.
4. Uhly pri základni $KM$ majú rovnakú veľkosť $\zeta= \xi=56^ \circ$.
Úlohu možno zovšeobecniť:
Ak v trojuholníku $KLM$ os uhla $PVM$ je rovnobežná so stranou $KM$, tak trojuhoník $KLM$ je rovnoramenný.
$<span class="nolink">\( .$\)

Matematická olympiáda - kategória B, A 

1. Nech $S$ je stred prepony $AB$ pravouhlého trojuholníka $ABC$, ktorý nie je rovnoramenný. Označme $D$ pätu výšky z vrcholu $C$ a $R$ priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole $C$ s preponou $AB$. Určte veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuholníka, ak platí $|SR|= 2|DR|$ (MO, kat. B, 2014/15).
Riešenie

1. Trojuholník $ASC$ je rovnoramenný (bod $S$ je stredom Tálesovej kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku $ABC$ ). Preto uhly $ACS, BAC$ majú rovnakú veľkosť.
2. Pravouhlé trojuholníky $ABC , CBD$ sa zhodujú vo vnútornom uhle pri vrchole $B$, sú teda podobné. Z toho vyplýva zhodnosť uhlov $BAC, BCD$.
3. Uhly $ACS, BCD$ sú teda zhodné a menšie ako $45^◦$, takže ich do pravého uhla $ACB$ dopĺňa nenulový uhol $SCD$ , ktorého os je navyše zhodná s osou celého uhla $ACB$ , čo je polpriamka $CR$ . Zároveň z toho vyplýva aj zhodnosť uhlov $SCR, DCR$ (a tiež to, že bod $R$ leží medzi bodmi $S$ a $D$ ).
4. Označme $P$ stred úsečky $SR$ a $Q$ pätu kolmice z bodu $R$ na priamku $SC$.
5. Pravouhlé trojuholníky $CQR, CDR$ s pravými uhlami pri vrcholoch $Q, D$ sa zhodujú vo veľkostiach vnútorného uhla pri vrchole $C$ a v dĺžke (spoločnej) prepony $CR$,sú preto zhodné.
6. Podľa predpokladu úlohy tak platí $|QR| = |DR| = 1/2|SR| = |PR|$. To znamená, že trojuholník $PRQ$ je rovnostranný, takže $\angle PRQ = 60^ \circ , \angle RSQ = 30^ \circ , \angle SCD = 60^ \circ$. Keďže uhol pri vrchole $C$ je pravý, vychádza $\angle BAC =\angle ACS = 15^ \circ ,\angle ABC= 75^ \circ$
2. Označme $M$ stred strany $AB$ ľubovoľného trojuholníka $ABC$. Dokážte, že rovnosť $|\angle ABC|+|\angle ACM|=90^\circ$ platí práve vtedy, keď je trojuholník $ABC$ rovnoramenný so základňou $AB$ alebo pravouhlý s preponou $AB$. (MO, kat. A, školské kolo, 2013/14).
Riešenie

3. Nájdite ďalšie úlohy z MO k téme Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami.