Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami
Uhol na ZŠ a SŠ
Seminárne zadania 2
Matematická olympiáda - kategória B, A
- Nech je stred prepony pravouhlého trojuholníka , ktorý nie je rovnoramenný. Označme pätu výšky z vrcholu a priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole s preponou . Určte veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuholníka, ak platí (MO, kat. B, 2014/15). Riešenie
- Trojuholník je rovnoramenný (bod je stredom Tálesovej kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku ). Preto uhly majú rovnakú veľkosť.
- Pravouhlé trojuholníky sa zhodujú vo vnútornom uhle pri vrchole , sú teda podobné. Z toho vyplýva zhodnosť uhlov .
- Uhly sú teda zhodné a menšie ako , takže ich do pravého uhla dopĺňa nenulový uhol , ktorého os je navyše zhodná s osou celého uhla , čo je polpriamka . Zároveň z toho vyplýva aj zhodnosť uhlov (a tiež to, že bod leží medzi bodmi a ).
- Označme stred úsečky a pätu kolmice z bodu na priamku .
- Pravouhlé trojuholníky s pravými uhlami pri vrcholoch sa zhodujú vo veľkostiach vnútorného uhla pri vrchole a v dĺžke (spoločnej) prepony ,sú preto zhodné.
- Podľa predpokladu úlohy tak platí . To znamená, že trojuholník je rovnostranný, takže . Keďže uhol pri vrchole je pravý, vychádza
- Označme stred strany ľubovoľného trojuholníka . Dokážte, že rovnosť platí práve vtedy, keď je trojuholník rovnoramenný so základňou alebo pravouhlý s preponou . (MO, kat. A, školské kolo, 2013/14). Riešenie
- Nájdite ďalšie úlohy z MO k téme Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami.