Didaktika matematiky

Nech na priamke AB a v bode B na nej vytvorte dve priamky BC a BD na rozličných stranách (polrovinách) ležiace a nech súčet susedných uhlov ABC a ABD je rovný dvom pravým uhlom. Hovorím, že BD je v priamej línii s CB.

     
1. Ak BD nie je v priamke s BC, potom vytvorte BE v priamke s CB.     ...    Post.2 
2. Pretože priamka AB stojí na priamke CBE, súčet uhlov ABC a ABE sa rovná dvom pravým uhlom. Súčet uhlov ABC a ABD sa tiež rovná dvom pravým uhlom (predpoklad T XIV), preto súčet uhlov CBA a ABE sa rovná súčtu uhlov CBA a ABD.     ...    T.13, Post.4, Z.1 
3. Od každého odčítajte uhol CBA. Potom zostávajúci uhol ABE sa rovná zostávajúcemu uhlu ABD, teda menší sa rovná väčšiemu, čo je nemožný. (Spor s podmienkou 1.) 
4. Preto BE nie je v priamke (v priamej línii) s CB.     ...    Z.3 
5. Podobne môžeme dokázať, že okrem BD neexistuje žiadna iná priama čiara. 
6. Preto ak na akejkoľvek priamke a v bode na nej dve priamky na rôznych ... 
7. Ak sa teraz uhol CBA rovná uhlu ABD, potom sú to dva pravé uhly.     ...    Def.10  

Nech sa priamky AB a CD pretínajú v bode E. Hovorím, že uhol CEA sa rovná uhlu DEB a uhol BEC sa rovná uhlu AED.

     
1. Pretože priamka AE stojí na priamke CD tvoria uhly CEA a AED, súčet uhlov CEA a AED sa teda rovná dvom pravým uhlom.     ...    T.13 
2. Pretože priamka DE stojí opäť na priamke AB, takže uhly AED a DEB sa preto súčet uhlov AED a DEB rovná dvom pravým uhlom. 
3. Súčet uhlov CEA a AED sa však tiež ukázal ako rovný dvom pravým uhlom, preto sa súčet uhlov CEA a AED rovná súčtu uhlov AED a DEB.     ...    Post.4 
4. Od každého odčítajte uhol AED. Potom zostávajúci uhol CEA sa rovná zostávajúcemu uhlu DEB.     ...    Z1, Z3 
5. Podobne je možné dokázať, že uhly BEC a AED sú rovnaké. 
6. Preto, ak sa dve priamky pretínajú, tvoria uhly vrcholové, ktoré sa navzájom rovnajú.