Interaktívna geometria - planimetria
Zobrazenia
Kruhová inverzia
Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod
, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica . Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici je zobrazenie, ktorého obrazom
V Möbiovej rovine je daná kružnica . Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici je zobrazenie, ktorého obrazom
Poznamenajme, že
Z bodu zostrojíme dotyčnicu kružnice , bod dotyku označme . Z bodu zostrojíme kolmicu na priamku , päta tejto kolmice je hľadaný obraz . Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice .
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
- ak bod je obrazom bodu , potom je aj bod obrazom bodu , dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
- body na kružnici sú samodružné;
- bod ležiaci vo vnútri kružnice sa zobrazí na vonkajší bod a naopak. Konštrukcia obrazu ľubovoľného bodu a a je založená na Euklidovej vete o odvesne.
Otvorte si dynamickú konštrukciu Tu.
Z bodu zostrojíme dotyčnicu kružnice , bod dotyku označme . Z bodu zostrojíme kolmicu na priamku , päta tejto kolmice je hľadaný obraz . Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice .
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla . Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla . Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".
Dôkaz
Z definície kruhovej inverzie vyplýva
Obr. Konformné zobrazenie
Teda trojuholníky majú spoločný uhol pri vrchole, sú podľa vety podobné.
Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie sa zobrazujú opäť na túto priamku.
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie sa zobrazujú opäť na túto priamku.
applet
Obr. Obraz priamky
Obr. Obraz priamky
Dôkaz.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod leží na kolmici k polpriamke . Zrejme platí
,
lebo trojuholníky sú podobné. Uhol pri vrchole je pravý, preto bod je zrejme bodom Thálesovej kružnice.
Dôsledky .
- Obrazom priamky , ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica prechádzajúca stredom .
- Obrazom kružnice prechádzajúcej stredom inverzie je priamka, ktorá neprechádza stredom inverzie.
- Samodružnými bodmi sú body určujúcej kružnice .
- Samodružnými priamkami sú priamky prechádzajúce stredom inverzie.
- Samodružné kružnice sú tie, ktoré ortogonálne pretínajú určujúcu kružnicu. Dôkaz si môžete pozrieť v práci [JAN].
Dôkazy týchto dôsledkov sa opierajú o involútornosť kruhovej inverzie.
Tvrdenie (Obraz kružnice neprechádzajúcej stredom ).
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica.
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica.
Poznámka.
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice nie je stred kružnice .
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice nie je stred kružnice .
Apolloniova úloha.
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu - , priamky - , kružnice - .
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu - , priamky - , kružnice - .
- Existuje celkove desať možných kombinácií. Napr. znamená zostrojiť kružnicu, ktorá prechádza bodom a dotýka sa dvoch priamok. Dotyk s bodom znamená incidenciu s ním.
- Najjednoduchšie prípady nastanú, keď sú dané tri body alebo tri priamky; tieto prípady vyriešil Euklides vo svojich Základoch. Apolloniove úlohy patria dodnes k najpríťažlivejším úlohám syntetickej geometrie.
Historické poznámky.
- O dotyku kružníc údajne písal už Archimedes. Jeho spis sa však nezachoval. Taktiež sa nezachoval dvojzväzkový pôvodný spis Apollonia z Pergy (262?-190? pred n. l.) „O dotykoch".
- Zmienil sa o ňom Pappos okolo roku 320, podľa ktorého Apollonios vyriešil všetky úlohy s výnimkou prípadu troch kružníc.
- Úlohu s tromi kružnicami riešil ako prvý F. Viete (1540-1603) v spise „Apollonius Gallus" (Paríž, r. 1600). V riešení použil stredy rovnoľahlosti troch kružníc.
- Vo všeobecnom prípade je osem výsledkov. Ak sa dané tri kružnice navzájom dotýkajú, riešenia sú dve (tzv. Soddyho kružnice).
Metódy riešenia Apolloniovej úlohy