Interaktívna geometria - planimetria
Kružnica, kruh
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica so stredom a polomerom . Bod leží zvonka kružnice. Nech je sečnica
kružnice vedená bodom a sú priesečníky sečnice s kružnicou .
Skúmajme súčin . Po otvorení motivačného appletu a experimentovaním s polohou bodu , môžeme vysloviť hypotézu:
Otvorte si motivačný applet Tu.
Otázky.
Je súčin nezávislý od polohy sečnice ? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov ?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod leží vo vnútri kružnice ? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Je súčin nezávislý od polohy sečnice ? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov ?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod leží vo vnútri kružnice ? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.
Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu roviny možno priradiť reálne číslo , pre ktorého absolútnu hodnotu platí , pričom
Ľubovoľnému bodu roviny možno priradiť reálne číslo , pre ktorého absolútnu hodnotu platí , pričom
Dôkaz.
Otvorte si konštrukčný dôkaz Tu.
Poznámka.
V prípade, keď bod leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
V prípade, keď bod leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.
Nasledujúca veta platí len v prípade, že bod je mimo kružnice . Mocnosť bodu v tomto prípade môžeme vyjadriť pomocou veľkosti úsečky , kde je dotykový bod dotyčnice ku kružnici, ktorá prechádza bodom .
Veta 2.
Pre mocnosť bodu , ktorý leží zvonka kružnice , platí rovnosť . Bod je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom .
Pre mocnosť bodu , ktorý leží zvonka kružnice , platí rovnosť . Bod je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom .
Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo veta 1.
Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov , ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí .
Pri odvodení vzťahu môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
- Vzťah platí pro ľubovoľnú sečnicu.
- Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode .
- Bod i bod sa blížia k bodu .
- Veľkosť úsečky sa blíži k veľkosti úsečky .
- Z toho usudzujeme, že súčin sa blíži k súčinu .
Pri odvodení vzťahu môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.
Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice . Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Majme dve nesústredné kružnice . Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.
Korektnosť definície a konštrukcia chordály.
Otvorte applet Tu.
- Dané kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
- Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
- V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu , ktorá pretína obe kružnice . Zostrojme chordály . Ich priesečník označme . Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc . Aktivujte si priložený applet.
Otvorte applet Tu.