Planimetria a stereometria

Nech $\small ACB$ je oblúk kružnice $\small k (S; r)$ a jemu prislúchajúci obvodový uhol $\small ∢ ACB$. Skúmajme jeho veľkosť.

Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.

Otvorte motivačný applet Tu.

1. Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov $\small ∢ ACB$ od polohy bodu $\small C$.
2. Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu $\small C$, rozhodujúce sú body $\small A,B$ resp. uhol $ω$.
3. Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.<\li>
4. Ak body $\small A, B$ sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
   Definícia.
   Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou $\small AB$ je kružnica $k$ s priemerom $\small AB$ okrem bodov $\small A, B$. Kružnicu $k$ nazývame Thálesova kružnica.

Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.  

1. "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
2. "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).

Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:

Dôsledok.

Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ je vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

1. Zvoľme bod $\small C$ na kružnici $\small k(S, r=SA$ tak, aby bod $\small S$ bol vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$.
2. Podľa predchádzajúceho dôsledku veľkosť vonkajšieho uhla $\small \angle ASC_1$ trojuholníka $\small ASC$ pri vrchole $\small S$ je rovná dvojnásobku veľkosti uhla $\small \angle SCA$ pri základni rovnoramenného trojuholníka $\small ASC$. Podobne pre trojuholník $\small BSC$ platí $\small \angle BSC_1$=2.$\small \angle SCB$.
3. Odtiaľ dostávame
   $\small \angle ASB$=2.\( \small \angle ACB).

Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ leží na ramene uhla $\small ∡ACB$ Potom obvodový uhol $\small ACB$ je tiež polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body $\small B, S, C$ ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.

Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Zrejme platí $\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta$. Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole $\small C$. Zistíme, že $\small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS$. Keďže trojuholníky $\small ASC$, $\small BSC$ sú rovnoramenné, tak platí Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod $\small C$ môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.

Príklad.
Je daná kružnica $\small k (S, r))$ a na nej dva body $\small A,B$. Pre každý priemer $\small XY$ kružnice $k$ zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok $\small AX, BY$. Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že $AB$ nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2.)

V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina $\small M$ bodov s danou vlastnosťou $\small V$. Symolicky to môžeme zapísať takto $\small  M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace$. Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa skladá z troch častí:

1. Najskôr musíme určiť základné charakteristické prvky danej množiny (najčastejšie experimentálne) resp. komplexne popísať danú množinu $\small M$. Potom overiť platnosť výrokov:
2. $\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$,
3. ak $\small X$ má vlastnosť $\small V$, tak patrí do množiny $\small M$.

V našom príklade budeme pri experimentovaní postupovať takto:

1. Thalesova veta hovorí, že trojuholníky $\small XAY, XBY$ sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch $\small A,B$.
2. Obvodové uhly $\small \angle AXB$ a $\small \angle BYA$ majú rovnakú veľkosť $\alpha$.
3. Označme si $\small \phi = \angle AXY$ a $\small \psi = \angle BYX$.
4. Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto bude $\phi+\alpha =90°- \psi, \; \psi+ \alpha =90°- \phi$.
5. Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov $\phi+ \psi$ je konštantný pre ľubovoľný priemer $\small XY$ a dva pevné body $\small AB$.
6. Preto aj vrcholové uhly $\small \angle XPY=\angle APB$ majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body $\small P$ ležia na kružnicovom oblúku $\small (APB)$.
7. K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer $\small XY$ a jeden odpovedajúci priesečník $\small P=AX \cap BY$.

Postup, ktorý sme popísali v týchto 7 krokoch, zahŕňa časť A aj časť B. Experimentálne sme stanovili, že množina $\small M$ je kružnicový oblúk $\small (APB)$. Na overenie platnosti výroku "$\small X \in M \Rightarrow X$ má vlastnosť $\small V$" teraz stačí ukázať, že výroková formula $[(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.)$ je tautológia.  To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup $[(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1.$ je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.

Poznámky.

1. Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
2. Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú množinu $\small M$.
3. Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
4. Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.