Planimetria a stereometria

Veta (o zhodnosti trojuholníkoch).

1. (sus)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom sú zhodné.
2. (sss)  Trojuholníky, ktoré sa zhodujú v troch stranách sú zhodné.
3. (usu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých, tak sú zhodné.
4. (Ssu)  Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej strane, tak sú zhodné.

Dôkaz.

1. Euklidových Základoch je veta sformulovaná ako Proposition 4 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech $\small ABC, DEF$ sú dva trojuholníky, ktoré majú dve strany $\small AB, AC$ rovné dvom stranám $\small DE, DF$. Konkrétne $\small AB$ rovná $\small DE$ a $\small AC$ rovná $\small DF$ a uhol $\small BAC$ je rovný uhlu $\small EDF$.
   2. Hovorím (Euklides), že základňa $\small BC$ sa rovná aj základni $\small EF$, trojuholník $\small ABC$ sa rovná trojuholníku $\small DEF$ a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom, respektíve opačne rovnakým stranám. To znamená, že uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$. 
   Nepriamy dôkaz
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je uložený na trojuholníku $\small DEF$ a ak je bod $\small A$ umiestnený na bode $\small D$ a priamka $\small AB$ na $\small DE$. 
   • Potom bod $\small B$ sa zhoduje s bodom $\small E$, pretože $\small AB$ sa rovná $\small DE$. 
   2. Priamka $\small AC$ sa tiež rovná $\small DF$, pretože uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.  
   • Preto sa bod $\small C$ zhoduje s bodom $\small F$, teda $\small AC$ sa rovná $\small DF$. 
   3. Ale $\small B$ sa tiež zhoduje s $\small E$, a preto základňa $\small BC$ sa zhoduje so základňou $\small EF$ a rovná sa jej. 
   • V opačnom prípade by bodmi $\small E$, $\small F$ boli určené dve rôzne úsečky (priamky), čo je v spore s axiómou.
   4. Takže celý trojuholník $\small ABC$ sa zhoduje s celým trojuholníkom $\small DEF$ a rovná sa. 
   5. Zvyšné uhly sa zhodujú so zostávajúcimi uhlami a rovnajú sa, uhol $\small ABC$ sa rovná uhlu $\small DEF$ a uhol $\small ACB$ sa rovná uhlu $\small DFE$ .
   3. Preto ak dva trojuholníky majú dve strany rovnobežné s dvoma stranami a majú uhly obsiahnuté rovnými čiarami rovnaké, potom majú aj základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zvyšné uhly sú rovné zvyšným uhlom respektíve tým, ktoré sú oproti rovnakým stranám.
      
      Ilustračný obrázok vety (sus).
2. V Euklidových Základoch je veta sss sformulovaná ako Proposition 8 (Euclid's Elements, Book I ).
   
   1. Nech trojuholník $\small ABC$ je prenesený na trojuholník $\small DEF$ tak, aby bod $\small B$ bol umiestnený na bode $\small E$ a priamka $\small BC$ na $\small EF$.
   2. Potom bod $\small C$ sa prekrýva (zhoduje) s bodom $\small F$, pretože $\small BC$ sa rovná $\small EF$.
   3. Ukážeme, že aj úsečka $\small BA$ resp. $\small CA$ sa prekrýva (zhoduje) s úsečkou $\small ED$ resp. $\small FD$. Budeme dokazovať nepriamo.
      1. Nech základňa $\small BC$ sa prekrýva (zhoduje) so základňou $\small EF$ ale strany $\small BA$ a $\small AC$ sa neprekrývajú so stranami $\small ED$ a $\small DF$ (zobrazia vedľa ako $\small EG$ a $\small GF$. Uvažujme prípad, keď bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFL}$.
      2. Z Euklidovho tvrdenia Proposition 7 (Euclid's Elements, Book I)vyplýva:
   • Keďže trojuholník $\small EDG$ je rovnoramenný, tak uhol $\small DGE$ rovná uhlu $\small GDE$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDE$ je väčší ako uhol $\small GDF$.
   • Tiež trojuholník $\small GDF$je rovnoramenný, preto aj uhol $\small GDF$ rovná uhlu $\small DGF$.
   • Z polohy bodu $\small G$ vyplýva, že uhol $\small GDF$ väčší ako uhol $\small GDE$, čo je spor.
   • Preto musí byť bod $\small D$ totožný s bodom $\small G$.
   • Podobne postupujeme v prípade, ak bod $\small G$ bude v polrovine $\small \vec{DFE}$.
     
   4. Ukázali sme, že strana $\small BA$ resp. $\small AC$ sa prekrýva so stranou $\small ED$ resp. $\small DF$. To znamená, že uhol $\small BAC$ sa rovná uhlu $\small EDF$.
   5. Teraz stačí použiť vetu $sus$ a dostávame tvrdenie: trojuholníky $\small ABC$ a $\small DEF$ sú zhodné.

V trojuholníkoch $\small ASC, BSC$ odpovedajúce strany majú rovnakú dĺžku. Keďže

1. ramená rovnoramenného trojuholníka sú zhodné úsečky,
2. stred $\small S$ rozpoľuje základňu $\small AB$, preto $\small AS=BS$,
3. $\small v_c=CS$ je spoločná strana pre obidva trojuholníky $\small preto, BSC$ preto platí :
V trojuholníkoch odpovedajúce strany majú rovnakú veľkosť, preto $\small \bigtriangleup ASC \simeq \bigtriangleup BSC$.

Poznámky.

1. Tháles: V rovnoramennom trojuholníku uhly pri základni sú zhodné.
2. Euklides: Základy/Proposition 5 (Euclid's Elements, Book I. )

Príklad 3. (Veta Ssu)
Na osi $o$ ostrého uhla $\small AVB$ zostrojte vnútri uhla $\small AVB$ bod $S$. Zostrojte kružnicu $o$ $\small k=(S,r)$ tak, aby platilo $r > VS$ .
Označte priesečníky priamky $\small AV$ s kružnicou $k$ ako $\small M,N$ a priesečníky priamky $\small BV$ s kružnicou $k$ ako $\small P,Q$ .

Dokážte, že úsečky $\small MN, PQ$majú rovnakú veľkosť.

Analýza úlohy. 

1. Najskôr sa pokúste dokázať rovnosť $\small VQ = VN$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔNVS ≅ ΔQVS$ .
Pre tieto trojuholníky platí: 
• strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom 
• $\small SN≅ SQ$ (polomery kružnice $\small k$
• $\small ∢SVN ≅ ∢SVQ$ (os uhla - zhodné polovice uhla $\small ∢BVA$ ) 

Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VQ ≅ VN$.
2. Potom dokážte rovnosť $\small VM = VP$ pomocou zhodnosti trojuholníkov: $\small ΔPVS ≅ ΔMVS$ .
   
   
   Pre tieto trojuholníky platí:
   • strana $\small VS$ je spoločná obom trojuholníkom
   • $\small SM ≅ SP$ (polomery kružnice $k$)
   • $\small ∢SVM ≅ ∢SVP$ (súčet zhodných vrcholových uhlov a polovíc uhla $\small ∢BVA$ )
   Záver. Trojuholníky sú zhodné podľa vety $\small Ssu$, preto aj tretie strany sú zhodné: $\small VM ≅ VP$
3. K ukončeniu dôkazu si stačí uvedomiť, že úsečky $\small MN$ a $\small PQ$ získame sčítaním dvoch dvojíc zhodných úsečiek, platí $\small MN ≅ PQ$.

Príklad 4.
...

... ...