Planimetria a stereometria

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku $\small ABC$, v ktorom prepona má veľkosť $c$ a odvesny majú veľkosti $a,b$ platí $\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}$ .

Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII)
3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu.  
4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.
5. Dôkaz "bez slov" →. Doplňte "slová" pre tento dôkaz - urobte slovné/písomné zdôvodnenie.

Poznámky.

1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
   • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
   • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - $\small A$ a štvrtý na mieste $\small C$ a siedmy na $\small B$,
   • vznikol pravý uhol $\small ABC$.

Veta (Obrátená pytagorova veta).
Ak v trojuholníku $\small ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou $c$.

Príklad.
Dané sú sústredné kružnice $\small k_1(S; r_1), k_2(S; r_2), r_1 > r_2$. Určte vzťah medzi obsahom medzikružia ohraničeného kružnicami $k_1, k_2$ a obsahom kruhu nad tetivou $\small XY$ kružnice $k_1$, ktorá sa dotýka kružnice $k_2$. Riešenie
Preskúmajte súvislosť tejto úlohy s dôkazom Pytagorovej vety aplikáciou Mamikonovej vety (Wiki odkaz Tu). Otvorte si applet Tu

Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII).

Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.

Dôkaz.

1. $\small ABC$ je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom $\small BAC$. Hovorím, že štvorec na $\small BC$ sa rovná (súčtom) štvorcov na $BA$ a $\small AC$.
2. Nech je narysovaný
• na $\small BC$ štvorec $\small BDEC$
• na $\small BA$ a $\small AC$ štvorce $\small GB$ a $\small HC$. (T.46)
3. Bodom $\small A$ je vedená rovnobežka $\small AL$ k $\small BD$ alebo k $\small CE$ (T.31) a spojnice (úsečky) $\small AD$ a $\small FC$. (Post.1)
4. Vzhľadom na to, že každý z uhlov $\small BAC$ a $\small BAG$ je pravý, z toho vyplýva, že priamkou $\small BA$ a bodom $\small A$ na ňom dve priame línie $\small AC$ a $\small AG$, ktoré nie sú ležiace na tej istej strane, spôsobujú, že susedné uhly sa rovnajú dvom pravým uhlom (Def.22)
• preto $\small CA$ je v priamke s $\small AG$ (tvoria jednu priamku) (T.14)
• z rovnakého dôvodu je $\small BA$ tiež v priamke s $\small AH$.
• 
5. Pretože uhol $\small DBC$ sa rovná uhlu $\small FBA$, pretože každý je pravý (Post.4)
• pridajte uhol $\small ABC$ do každého, preto sa celý uhol $\small DBA$ rovná celému uhlu $\small FBC$ (Kon.2)
6. Keďže $\small DB$ sa rovná $\small BC$ a $FB$ sa rovná $\small BA$ (Def.22),
• obe strany $\small AB$ a $\small BD$ sa rovnajú obom stranám $\small FB$ a $\small C$ a 
  uhol $\small ABD$ sa rovná uhlu $\small FBC$, preto základňa $\small AD$ sa rovná základni $\small FC$ a
  trojuholník $\small ABD$ sa rovná (je zhodný) trojuholníku $\small FBC$. (T.4)
• →
7. Teraz rovnobežník $\small BL (BDLA_0)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small ABD$, pretože majú rovnakú základňu $\small BD$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small BD$ a $\small AL$ (majú spoločnú výšku). (T.41)
8. A štvorec $\small GB (ABFG)$ je dvakrát väčší ako trojuholník $\small FBC$, pretože opäť majú rovnakú základňu $\small FB$ a
   sú medzi tými istými rovnobežkami $\small FB$ a $\small GC$. (T.41) 
9. Preto sa rovnobežník $\small BL$ rovná štvorcu $\small GB$. (Kon.2)
10. Podobne, ak vedieme spojnice (úsečky) $\small AE$ a $\small BK$, rovnobežník $\small CL$ sa rovná štvorcu $\small HC$. Preto sa celý štvorec $\small BDEC$ rovná súčtu dvoch štvorcov $\small GB$ a $\small HC$. (Kon.2) 
11. A štvorec $\small BDEC$ je narysovaný na $\small BC$ a štvorce $\small GB$ a $\small HC$ na $\small BA$ a $\small AC$. Teda štvorec na $\small BC$ sa rovná súčtu štvorcov na $\small BA$ a $\small AC$. 
    

V dôkaze boli použité tieto zdroje z Euklidových Základov:

1. Definícia 22: Zo štvorstranných útvarov je štvorec, ktorý je rovnako rovnostranný a pravouhlý; obdĺžnik, ktorý je pravouhlý, ale nie rovnostranný; kosoštvorec, ktorý je rovnostranný, ale nie pravouhlý; kosodĺžnik, ktorý má opačné strany a uhly rovno navzájom, ale nie je ani rovnostranný, ani pravouhlý. Okrem týchto sú to štvoruholníky, ktoré sa nazývajú lichobežníky (rôznobežníky). 
2. Postulát 1: Nech je úlohou nakresliť priamku z ktoréhokoľvek bodu do ktoréhokoľvek bodu. Tento prvý postulát hovorí, že vzhľadom na akékoľvek dva body, ako sú A a B, existuje priamka AB, ktorá ich má ako koncové body. (Porovnaj s postulátom 5).
3. Postulát 4: To, že všetky pravé uhly sa navzájom rovnajú. 
4. Tvrdenie 4: Ak dva trojuholníky majú dve strany rovnajúce sa dvom stranám a majú uhly obsiahnuté v rovnakých rovných priamkach rovnaké, potom majú tiež základňu rovnú základni, trojuholník sa rovná trojuholníku a zostávajúce uhly sa rovnajú zostávajúcim uhlom respektíve, a síce oproti rovnakým stranám. Veta o zhodnosti trojuholníkov - sus 
5. Tvrdenie 14: Ak na priamke a v bode na nej sú dve priamky, ktoré neležia na tej istej strane, sa súčet susedných uhlov rovná dvom pravým uhlom, potom sú tieto dve priamky navzájom k sebe v priamke (tvoria jednu priamku). Tvrdenie 31 Vytvor priamku cez daný bod rovnobežne s danou priamkou. 
6. Tvrdenie 41: Ak rovnobežník má rovnakú základňu s trojuholníkom a je medzi tými istými rovnobežkami, rovnobežník je dvakrát väčší ako trojuholník. 
7. Tvrdenie 46: Na danej priamke narysuj štvorec. (Súčasná matematická formulácia tejto vety: Nad danou úsečkou je možné narysovať štvorec.) 
8. Koncepcia/Zásada 2: Ak sú rovnosti pridané do rovnováhy, potom celky sú rovnaké. 
9. Koncepcia/Zásada 5: Celok je väčší než časť.

Cvičenie.
Vytvorte si vlastný applet, ktorým budete interpretovať Euklidov dôkaz Pytagorovej vety. Pozrite si náš návrh:

Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.

Dôkaz.
Nech v pravouhlom trojuholníku $\small ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $\small C$ je $\small v_c=CC_0$ výška na preponu $\small AB$.
Zrejme platí:

1. výška $v_c$ pravouhlého trojuholníka rozdelí trojuholník na ďalšie dva pravouhlé trojuholníky,
2. päta výšky $v_c$ rozdelí preponu na dva úseky priľahlé k odvesnám trojuholníka: $c_a$ a $c_b$,
3. zo vzťahu $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$ dostávame $\alpha = 90^\circ - \beta$,
4. všetky tri vzniknuté trojuholníky sú navzájom podobné: $\small ACB \sim AC _0C \sim CC_0B$ .

Z podobnosti trojuholníkov $\small ACB \sim AC_0C$ a $\small ACB \sim CC_0B$ vyplýva: $v_c : c_b = c_a : v_c$. Po úprave dostaneme vzťah ${v_c}^2= c_a . c_b$.
Tým je dôkaz Euklidovej vety o výške ukončený. Dôkaz, ktorý využíva zhodnosť od Vinklera nájdete Tu.

Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.

Dôkaz.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small CBC_0$ vyplýva: $a : c= c_a : a$. Po úprave dostaneme vzťah $a^2= c . c_a$.
Z podobnosti trojuholníkov $\small ABC$ a $\small ACC_0$ odvodíme druhú Euklidovu vetu $b^2= c . c_b$.

Cvičenie.
Dokážte Pytagorovu vetu pomocou Euklidových viet.