Planimetria a stereometria

Definícia.
Bod trojuholníka, ktorý je invariantný vzhľadom na rovnoľahlosť, sa nazýva trojuholníkové centrum (triangle Center).

Najznámejšie sú napríklad

1. ťažisko, ortocentrum - popísané v predchádzajúcich častiach,
2. stred kružnice opísanej a vpísanej - budú charakterizované v ďalších častiach.
   
V súčasnosti je popísaných viac ako 16 tisíc trojuholníkových centier. Každý bod v zozname je identifikovaný indexovým číslom $\small X _n$ a názvom.

Menej známe ale často využívané v konštrukciách sú Eulerova priamka a Feurbachova kružnica deviatich bodov.

Definícia (Eulerova priamka).
V ľubovoľnom trojuholníku, s výnimkou rovnostranného, ležia ortocentrum $\small O$, ťažisko $\small T$ a stred opísanej kružnice $\small S$S na jednej priamke, ktorú nazývame  Eulerova priamka. Pre ich vzdialenosti platí $\small |OS| = 2 |TS|$. V rovnostrannom trojuholníku body $\small O, T, S$ splývajú.

Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera, prípadne navrhnite iný dôkaz s využitím rovnoľahlosti Tu.

Definícia (Feuerbachova kružnica).
Nech $\small ABC$ je všeobecný trojuholník, $\small A_0,B_0,C_0$ nech sú päty jeho výšok, $\small A_1,B_1,C_1$ nech sú stredy jeho strán, $\small V$ nech je priesečník výšok a $\small P, Q, R$ nech sú postupne stredy úsečiek $\small AV, BV, CV$. Potom $9$ bodov $\small A_0,B_0,C_0,A_1,B_1,C_1,P, Q, R$ leží na jednej kružnici, ktorú nazývame Feuerbachova kružnica. Pozrite si konštrukčný dôkaz Tu.

Definícia.
Kružnica, ktorá prechádza všetkými troma vrcholmi trojuholníka sa nazýva kružnica opísaná trojuholníku.

Konštrukčne pri hľadaní stredu opísanej kružnice postupujme takto:

1. Zvolíme si ľubovoľné dve strany trojuholníka a zostrojíme ich osi .
2. Priesečník týchto osí je stred $\small S$ kružnice opísanej trojuholníku $\small ABC$.
3. Zároveň je nutné dokázať, že os tretej strany trojuholníka $\small ABC$ prechádza vždy týmto priesečníkom.
   (dôkaz už poznal Tháles) $\small \left( \left| AS\right| =\left| BS \right| ∧\left| BS\right| =\left| CS \right| \right) ⇒\left( \left| AS\right| =\left| CS \right| \right)$.
4. Z tejto konštrukcie vyplýva aj tvrdenie, že každému trojuholníku možno opísať práve jednu kružnicu.

Z uvedenej konštrukcie ľahko zodpovieme na otázky:

1. Bude ležať stred kružnice opísanej $\small S$ vždy vnútri trojuholníka?
2. Kde leží stred kružnice opísanej u pravouhlých trojuholníkov? 

Tvrdenie.
Na osi úsečky $\small AB$ ležia všetky stredy kružníc, ktoré prechádzajú obidvomi bodmi $\small A, B$.

Dôkaz uvádza Euklides v Knihe 1, Tvrdenie X., pozri kapitolu "Euklidovské konštrukcie".

Definícia.

1. Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku sa nazýva Tálesova kružnica.
2. Stred Tálesovej kružnice leží v strede prepony $\small AB$ trojuholníka $\small ABC$.
3. Hovoríme, že Tálesova kružnica je zostrojená nad priemerom $\small AB$.

Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku.

1. Veľkosť polomeru opísanej kružnice určuje vzťah $r= \frac{a}{2 \sin \alpha}= \frac{b}{2 \sin \beta}= \frac{c}{2 \sin \gamma }$
2. Spojnica stredu opísanej kružnice a vrcholu trojuholníka je kolmá k strane jeho ortického trojuholníka (tzv. Nagelova veta →).
3. Kružnica deviatich bodov je rovnoľahlým obrazom opísanej kružnice so stredom rovnoľahlosti v ťažisku trojuholníka a koeficientom $\kappa = - 0,5$.

Ortický trojuholník je trojuholník, ktorý je tvorený spojnicami pat výšok trojuholníka.

Definícia.
Ak z ľubovoľného bodu $\small X$ opísanej kružnice zostrojíme kolmice k jednotlivým stranám trojuholníka, tak päty týchto kolmíc budú ležať na jednej priamke. Túto priamku nazývame Simsonova priamka. Ak bod $\small X$ spojíme s ortocentrom (priesečník výšok trojuholníka), tak Simsonova priamka prechádza stredom tejto úsečky.

Definícia. Kružnica, ktorá sa dotýka všetkých strán daného trojuholníka sa nazýva vpísaná kružnica.

Vlastnosti

1. Stred kružnice vpísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osí jeho vnútorných uhlov
2. Stred kružnice vpísanej trojuholníku je vnútorným bodom trojuholníka
3. Polomer je vzdialenosť stredu od ľubovoľnej strany trojuholníka, pre jeho veľkosť platí:
• $\rho = {\frac {2S}{o}}$ $o$ = obvod trojuholníka, $\small S$ = obsah
• $\rho =\frac{1}{2} (a+b+c) \cdot \ tg( \frac{ \ \alpha}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \beta}{2}) \cdot \ tg( \frac{ \ \gamma }{2})$
  
4. Vzdialenosť medzi stredmi kružnice vpísanej a opísanej je $d={\sqrt {r^{2}-2r\rho }}$
   

Cvičenie.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, pre ktorý je dané: $v_c = 5\; cm, , b = 6\; cm, \rho = 2\; cm$ →

Definícia. Kružnica, ktorá sa zvonka dotýka strany trojuholníka a dvoch priamok, ktoré sú predĺžením zvyšných strán trojuholníka sa nazýva kružnica pripísaná trojuholníku.

Vlastnosti

1. Stred kružnice pripísanej trojuholníku $\small ABC$ je priesečník osi jedného vnútorného uhla a dvoch vonkajších uhlov pri zvyšných dvoch vrcholoch.
2. Každý trojuholník má tri pripísané kružnice.
3. Vzdialenosť vrcholu trojuholníka $\small A$ od dotykového bodu $\small T_i$ pripísanej kružnice je rovná polovici obvodu trojuholníka $\small | AT_i| =\frac{O_{ABC}}{2}$.

Veta (Veta o osi vnútorného uhla). V každom trojuholníku platí, že os vnútorného uhla delí protiľahlú stranu v rovnakom pomere, ako je pomer dĺžok príslušných priľahlých strán.

Cvičenie.

1. Vyhľadajte v Euklidových Základoch tvrdenia - Kniha I. T/34 a Kniha III, T/3.
2. Vyhľadajte v literatúre iné dôkazy vety o ortocentre trojuholníka.