Planimetria a stereometria

Definícia.
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.

Výšky trojuholníka $\small ABC$ budeme označovať $v_a, v_b, v_c$.

1. Výšky sa pretínajú v jednom bode $\small V$.
2. Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum, stiahnite si applet Tu

Úloha.
Zostrojte trojuholník, ak je daná výška $v_c$, uhol $\small α=BAC$ a uhol $\small β=BCA$.

1. Urobte rozbor tejto úlohy a porovnajte s návrhom v priloženom applete →.
2. V priloženom applete deaktivujte Začiarkavacie políčko a navrhnite postup konštrukcie.
3. Urobte symbolický zápis konštrukčných krokov v geometrickom okne 2, pozrite si náš návrh Tu →.
4. Preveďte dôkaz správnosti konštrukcie a urobte diskusiu.

Albert Einstein → (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)

Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke¹⁾ o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.

1. Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
2. Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
3. Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem.

Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.

1. Urobte analýzu tohto dôkazu. Zodpovedajte na otázky:
• Prečo môžeme zostrojiť rovnobežky $a', b', c'$
• Ktoré vlastnosti rovnobežníkov sa v dôkaze využívajú?
• Vedeli by ste ich dokázať?
2. Vaša argumentácia by mala vychádzať z elementárnych Euklidových tvrdení a postulátov.

Vyššie uvedený dôkaz sa opiera o dve základné tvrdenia:

1. V rovnobežníku protiľahlé strany majú rovnakú veľkosť. Pozrite si Euclid's Elements, Book I, Proposition 34.
2. Priamka prechádzajúca stredom kruhu a stredom tetivy je kolmá na túto tetivu a rozpoľuje túto tetivu. Pozrite si Euclid's Elements, , Book III, Proposition 3. Toto tvrdenie bolo pravdepodobne známe už Thálesovi.

V trojuholníku $\small ABC$ sú dané stredy strán $\small A_1 \in CB,B_1 \in AB,C_1 \in AB$. Spojte tieto body úsečkami.

Definícia (Stredná priečka trojuholníka).
Úsečky $\small A_1B_1$, $\small A_1C_1$, $\small B_1C_1$ sa nazývajú stredné priečky trojuholníka $\small ABC$.

Veta.

1. Trojuholník $\small ABC$ sa rozdelil na štyri "rovnaké, zhodné" trojuholníky: $\small \bigtriangleup AB_1C_1 \simeq \bigtriangleup A_1BC_1 \simeq \bigtriangleup A_1B_1C \simeq \bigtriangleup A_1B_1C_1$.
2. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, sú rovnobežné s protiľahlými stranami trojuholníka.
3. Úsečky, ktoré vznikli spojením narysovaných stredov, majú polovičnú dĺžku ako protiľahlé strany v trojuholníku.

Dôsledok.

1. Stredná priečka trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka.
2. Jej veľkosť sa rovná polovici veľkosti strany, s ktorou je rovnobežná.