Interaktívna geometria - planimetria
Geometria trojuholníka
Vybrané vety o trojuholníkoch
Definícia (Deliaci pomer).
Nech sú tri kolineárne body také, že . Deliaci pomer bodu vzhľadom k bodom rozumieme reálne číslo (označenie ), pre ktoré platí
.
Pre bod je a pre bod je . Pre je zrejme .
Nech sú tri kolineárne body také, že . Deliaci pomer bodu vzhľadom k bodom rozumieme reálne číslo (označenie ), pre ktoré platí
.
Pre bod je a pre bod je . Pre je zrejme .
Poznámky.
- V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo , pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra. - Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1. Dokážte to.
- Pre tri rôzne kolineárne body platí:
.
Dokážte to. - V rovine sú dané dva pevne body . Množina všetkých bodov tejto roviny, pre ktoré platí
,
kde je reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.
Cevova veta.
V trojuholníku sa priamky , kde je vnútorným bodom trojuholníka a sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
V trojuholníku sa priamky , kde je vnútorným bodom trojuholníka a sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod. Uvedieme jej prvú časť dôkazu, ktorý má konštrukčný charakter.
Dôkaz.
1. (): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak .
2. (): Ak , tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].
Dôkaz.
1. (): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak .
2. (): Ak , tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].
Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:
- Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar .)
- Výšky pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. , ak je výška.)
- Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
- Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.
Morleyho veta.
Ak v trojuholníku zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka .
Ak v trojuholníku zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka .
Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.
Poznámky.
- V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety (uhly pri vrchole ... os uhla, pri vrchole majú veľkosť , strana spoločná).
- V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
- Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.