Planimetria a stereometria

Trojuholníky môžeme rozčleniť podľa viacerých kritérií, napríklad podľa:

1. dĺžky jeho strán
2. veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.

Vzhľadom na dĺžky (veľkosti) strán v danom trojuholníku rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Rovnostranný trojuholník - všetky strany trojuholníka majú rovnakú dĺžku (sú navzájom zhodné). 
2. Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany rovnakej dĺžky (sú navzájom zhodné).
3. Rôznostranný trojuholník - všetky strany majú rozličnú dĺžku (žiadne dve strany trojuholníka nie sú zhodné).

Poznámka
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla: $a,b,c$ môžu nastať len prípady:
                 1. $a=b=c$, 2. $a=b≠c$, 3. $a≠b, a≠c, b≠c$

Vzhľadom na veľkosti veľkosti najväčšieho vnútorného uhla rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín

1. Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).
2. Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (jeden pravý uhol). 
3. Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.

V priloženom applete "Rozdelenie trojuholníkov" môžete generovať rôzne typy trojuholníkov tak, že budete pohybovať vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré sú charakterizované veľkosťou strán a veľkosťou uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrcholov trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje). Pokúste sa zodpovedať otázku: Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?

Úloha.
Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Práca [LAR] (Larson, Príklad 8.1.16, Tu)

Riešenie.

1. Geometrické modelovanie/riešenie pomocou GeoGebry vhodné aj pre základné školy.
   
   Applet otvoríte Tu.
2. Konštrukčné riešenie
   
   Applet otvoríte Tu.
3. Algebraické riešenie pomocou kosínusovej vety vhodné pre stredné školy
   $\alpha= cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right)$
   $\beta= cos^{-1}\left( \frac{1}{112} \; \left(x - 113 \right) \right)$
   $x - 64 - 25 = -2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos^{-1} \left( 2 \; \pi - cos^{-1} \left( \frac{x - 74}{70} \right) - cos^{-1} \left( \frac{x - 113}{112} \right) \right)$ Applet Tu