Planimetria a stereometria

Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincarè Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$, ktoré sú zovšeobecnením euklidovských konštrukcií, sú prezentované formou riešených úloh. Pri riešení úloh z z neeuklidovskej geometrie je vhodné, aby ste si najskôr stiahli applet "Poincaré Disk" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou tohto appletu vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; vieme určiť vzdialenosť dvoch bodov.

Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
   Riešenie Tu.
2. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$.
   Návod:
   1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
   2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
   3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
   4. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \in \alpha$. Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AP, PC$ ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
4. Zostrojte hyperbolickú rovnobežku k hyperbolickej priamke $\small a=AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \notin a$. Využite vlastnosť striedavých uhlov.

Poznámka.
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.