Planimetria a stereometria

Nech sú dané dva rôzne body $\small S$ a $\small A$ na hyperboloide. 

1. Uvažujme o kružnici $\small k=(S; r= | SA|$, ktorej všetky body sú bodmi hyperboloidu. Symbolicky: $\small \forall X \in k \Rightarrow X \in HYP$.
2. Nech bod $\small B$ je stredovo súmerný k bodu $\small A$ podľa stredu $\small S$, potom bod $\small B$ je tiež bodom kružnice $k$ a zároveň bodom hyperboloidu.
3. Nech $\rho$ je určená bodmi $\small A,S$ a bodom StredPremietania. Táto rovina pretína daný dvojdielny hyperboloid v hyperbole (v applete červená krivka).
4. Zostrojme dotyčnice k tejto hyperbole v bodoch $\small A,B$ a ich priesečník $\small S_1$.
5. Potom platí nasledujúce tvrdenie, ktoré uvádzame bez dôkazu. K dôkazu sú potrebné širšie znalosti stredového premietania kužeľosečiek.

Tvrdenie
Priemetom kružnice $\small k=(S; r=|SA|$ do stredovej roviny (Poincaré disku $\small  \omega= \lbrace{x^2+y^2< 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$) je kružnica $\small k'=(S'_1; r= | S'_1A'|$,

Poznámka.
Na základe tohto tvrdenia môžeme uskutočniť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom $\small S$ a bodom $\small A$ a na základe tejto konštrukcie aj nástroj v GeoGebre pomocou, ktorého narysujeme kružnicu v modeli Poincaré Disc.

Poznámka.
Teraz už máme tri základné (euklidovské) nástroje: hPriamku hUsecku a hKružnicu v Geogebre.