Planimetria a stereometria

Poznámky.

1. Konštrukcie v Poincarè Disku si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
2. Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincarè disku.
3. Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
4. Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.

Príklad (Vytvorenie nástroja).
Daný je kruh $\small \omega (O, r=1)$ a body $\small A, B$ ležiace vnútri kruhu, pričom úsečka $\small AB$ nie je priemerom. Zostrojte obraz hyperbolickej h-priamky určenej bodmi $\small A, B$ v prostredí GeoGebra.

Riešenie - zostrojenie kružnicového oblúka v Euklidovskej rovine
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov $\small A, B$ je vnútorný bod kruhu $\small \omega$ a je rôzny od stredu $\small O$. Podľa už dokázaného tvrdenie je hľadaná h-priamka kružnicový oblúk, ktorý je určený bodmi $\small A, B$ a zároveň leží na kružnici kolmej ku kruhu $\small \omega (O, r=1)$. Pozrite si nasledujúci obrázok.
Postup euklidovskej konštrukcie.

1. V kruhovej inverzii $\small \omega (O, r=1)$ zostrojíme obrazy $\small A', B'$ bodov $\small A, B$.
2. Zostrojíme kružnicu $k$ určenú bodmi $\small A, A', B'$ alebo bodmi $\small A, B, B'$. Nájdeme priesečníky $\small K,L$.
3. Na kružnici $\small k (S_k, r)$ vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi $\small K,L$.
4. Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky $\small AB$. Túto konštrukciu si otvoríte Tu.

Konštrukciu kružnicového oblúka, ktorá zohľadňuje aj prípady

1. úsečka $\small AB$ je priemerom kružnice $\small \omega (O, r=1)$ - v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
2. obidva body $\small A, B$ ležia na kružnici $\small \omega (O, r=1)$ ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete v nami vytvorenom applete Tu.

Túto konštrukciu si uložte do vášho PC napríklad pod názvom "h-Priamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie Nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz h-priamky v Poincarè modeli.
Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincarè modeli.

1. Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
   • ako výstupné objekty vyberte oblúk "hPriamka" (otvorte si aj algebraické okno)
   • ako vstupné objekty vyberte body: $\small A,B$
   • vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
   • v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
   • zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
4. Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
5. Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam (ak nie, tak Prispôsobte paletu nástrojov) . Teraz si vytvorte kružnicu $\small (O, r=1$ a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložte si tento súbor napr. s názvom Nástroj hPriamka.

Nami novovytvorený nástroj hPriamka v GeoGebre na zostrojenie obrazu h-priamky v modeli Poincaré Disc $\small \omega$ s polomerom $r=1$ si môžete otvoriť Tu (je umiestnený vpravo na lište nástrojov).
Používanie nástroja hPriamka je analogické ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu $\small \omega$ - pomocou nástroja Bod. Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).

Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorého sa vykreslí obraz hyperbolickej úsečky (časti hyperboly) v modeli Poincarè Disku.
Využite kompletnú konštrukciu hPriamky.
Pokračujte v tejto konštrukcii krokmi:

1. zostrojte stred oblúka "hPriamka", ktorý označte napr. $\small S_h$
2. potom zostrojte oblúk s názvom "hUsecka" určený stredom $\small S_h$ a krajnými bodmi $\small A,B$ a
3. následne vytvorte GeoGebra nástroj s rovnakým názvom "hUsecka".

Porovnajte vaše riešenie s riešením Tu.