Planimetria a stereometria

Poincarè model

• model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• stred premietanie je vrchol $\small V'=(0,0,-1)$ (spodná časť) hyperboloidu
• premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu $\small O=(0,0,0)$.

• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je zrejme otvorený kruh $\omega=(O,\; r < 1)$
• tento otvorený kruh so stredom $\small O$ sa nazýva Poincarè Disc

Tvrdenie

1. Priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu $\small \omega (O,\; r=1)$.
2. Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk kruhu, ktorý je kolmý na jeho hranicu $\omega$.

Dôkaz

1. Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice $\small (O,\; r=1)$. To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu $\small \omega (O,\; r \leq 1)$. 
2. Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
   1. Nech $\small A,A'$ je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech $\small A_1,A'_1$ sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností $a_1,a'_1$ bodov $\small A_1,A'_1$ od stredu $\small O$ hyperboloidu platí:
      $a_1 \times a'_1=[ \frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}-1)] \times [\frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}+1)]=1$.
      Dôkaz toho, že súčin vzdialeností $\small | OA_1| \times | OA'_1|$ je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete.
      
      Dynamický obrázok si otvoríte Tu; interpretácia na hyperboloide Tu.
   2. Musíme ešte dokázať, že priemety h-bodov $\small A$ h-priamky (hyperboly) v označení $\small A_1$ ležia na kružnici kolmej na kružnicu $\small \omega (O,\; r=1)$. Dôkaz je v ďalšej kapitole tejto práce. Pri dôkaze budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.

Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica $\small k (S_k, r_k)$ a bod $\small O$, ležiaci zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small O$ a nech $\small A_1, A'_1$ sú priesečníky sečnice $p$ s kružnicou $\small k (S_k, r_k)$. Pod mocnosťou bodu $\small O$ ku kružnici $\small k (S_k, r_k)$ rozumieme číslo $m$, pre ktoré platí: $\small m = |OA_1| . |OA'_1|$.

Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu. Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].

Beltramiho-Kleinov model
Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom

• stred premietanie je stred hyperboloidu - bod $\small O=(0,0,0)$
• rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole $\small V=(0,0,1)$
• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je otvorený kruh $\small k=(V,r=1)$, ak $a=b=c=1$
• kruh s vrcholom $\small V$ a polomerom $r=1$ sa nazýva Klein Disc
• priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu.

Zhrnutie

1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
2. Priamkami sú tetivy tohto disku.

V obidvoch hyperbolických modeloch (Beltrami a Poincarè) neplatí axióma rovnobežnosti.

1. V obidvoch prípadoch existuje viac ako jedna rovnobežka.
2. Existencia rovnobežky vyplýva z prvých skupín axióm.
3. V modeli "Sféra" nemáme zaručenú ani existenciu rovnobežky.
4. Kleinov disk a Poincarè disk sú modely, ktoré vzniknú aj premietaním  do vhodnej roviny. Pozri Disk a hyperboloid.
5. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný (kruhy a uhly sú skreslené).
6. Neeuklidovská hyperbolická geometria reprezentovaná Poincarè diskom je konformná.