Planimetria a stereometria

Ako sme už uviedli, pri dokazovaní mnohých tvrdení týkajúcich sa vlastností geometrických útvarov, Euklides využíva hlavne konštrukčnú metódu. Pri podrobnejšom skúmaní týchto konštrukčných dôkazov zistíme, že navrhnuté konštrukcie sa dajú vo väčšine prípadov realizovať len použitím pravítka a kružidla. V odbornej literatúre sa takéto konštrukcie nazývajú euklidovské.

Definícia.
Grafická konštrukcia v euklidovskej rovine (alebo v euklidovskom priestore) realizovaná len 

1. ideálnym pravítkom a ideálnym kružidlom
2. a konečným počtom krokov
sa nazýva Euklidovská konštrukcia.

Každý krok elementárnej konštrukcie predstavuje zostrojenie

1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi alebo
2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom alebo
3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).

Elementárne euklidovské konštrukcie

1. Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Kniha 1, Tvrdenie I.
2. Zostrojenie osi daného uhla. Kniha 1, Tvrdenie IX.
3. Zostrojenie stredu danej úsečky. Kniha 1, Tvrdenie X.
4. Zostrojenie osi úsečky.

Otvorte si konštrukciu Tu
5. Zostrojenie kolmice v danom bode na danú priamku. Kniha 1, Tvrdenie XI.
Mezi elementárne euklidovské konštrukcie zaraďujeme aj konštrukcie používané v školskej matematike už na 1. stupni ZŠ
6. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Kniha 1, Tvrdenie II a III.
7. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.

Poznámky.

1. Podmienka konečného počtu krokov v definícii euklidovskej konštrukcii je opodstatnená. Napríklad konštrukcia uvedená v príklade v kapitole 2 nemôže byť euklidovská, lebo pri konečnom počte aproximácií nezískame trisekciu uhla. Na druhej strane vieme stanoviť počet krokov, ktoré budú veľkosť trisekcie uhla určovať s vopred danou presnosťou .
2. Prvé tri uvedené elementárne konštrukcie nie je problém zrealizovať, ak máme k dispozícii pravítko a kružidlo. Pozrite si napríklad konštrukciu osi uhla a osi úsečky (úloha č. 4).
3. V geometrii, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (neeuklidovské geometrie) to také jednoduché nebude. V prvom rade musíme nájsť odpoveď na otázku: "Čo budeme rozumieť pod pravítkom resp. kružidlom v takejto geometrii?"
4. V časti Neeuklidovská geometria popíšeme niektoré elementárne euklidovské konštrukcie v neeuklidovskej geometrii, ktoré budú tvoriť samostatnú triedu Euklidovských konštrukcií.

Podľa prof. Šedivého euklidovská konštrukcia sa považuje za zrealizovanú ak sú splnené podmienky K₁ až K₆.
K₁: Bod je zostrojený, ak je daná jeho poloha, alebo je priesečníkom dvoch priamok, dvoch kružníc alebo priamky a kružnice.
K₂: Priamku považujeme za zostrojenú, ak sú dané jej dva rôzne body.
K₃: Kružnicu $\small k(S, r)$ považujeme za zostrojenú, ak je daný bod $\small S$ a úsečka $r$.
K₄: Ak sú dané dve rôznobežky $a,b$, potom považujeme ich priesečník $\small X$ za zostrojený.
K₅: Ak je daná kružnica a jej sečnica, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
K₆: Ak sú dané dve kružnice, o ktorých vieme, že sa pretínajú, potom považujeme ich priesečníky $\small X_1 ≠ X_2$ za zostrojené.
Základné euklidovské konštrukcie môžeme považovať za elementárne stavebné kroky pri zostrojovaní zložitejších geometrických útvarov, pre ktorý sú dané nutné "generujúce" prvky. 
Napríklad zostrojiť trojuholník, ak sú dané dve jeho strany a uhol nimi zovretý, je možné zrealizovať na základe vety sus o zhodnosti trojuholníkov [Kniha 1, Tvrdenie IV].

Definícia (konštrukčná úloha).
Zostrojenie (konštrukciu) geometrického útvaru z daných prvkov sa nazýva konštrukčná úloha.

Riešiť konštrukčnú úlohu znamená:

1. odvodiť vzťahy medzi zadanými a hľadanými prvkami - náčrtok, rozbor,
2. konštrukčne doplniť zadané prvky ďalšími tak, aby bol útvar zostrojiteľný - postup konštrukcie a jeho grafické prevedenie - konštrukcia,
3. urobiť dôkaz, že zostrojený útvar je ten, ktorý bolo treba zostrojiť - dôkaz správnosti konštrukcie,
4. stanoviť, za ktorých podmienok je úloha riešiteľná a prípadne koľko má vyhovujúcich riešení - diskusia.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak sú dané strany $a,c$ a uhol $α$ pri vrchole $\small A$.

Rozbor - prvá etapa riešenia konštrukčnej úlohy, metóda: geometrické miesto bodov. V rozbore ide o hľadanie kauzalít medzi danými $\small c=AB, a, α$ a hľadanými prvkami geometrického útvaru $\small C$.

1. Náčrtok - súčasťou rozboru môže byť aj náčrt (na úrovni ZŠ je to dôležitá súčasť rozboru).
• nakreslíme netypický trojuholník, náčrt kreslíme/modelujeme pomocou úsečiek, kružnicových oblúkov, ... .
• "silnejšie" resp. farebne vyznačíme strany $\small c=AB, a=BC$ a uhol $\small BAC$
2. Logický rozbor
• strana $\small AB$ je daná
• vrchol $\small C$ leží na ramene uhla $α$
• zároveň leží na kružnici $\small k(B, r=a)$

Applet si otvoríte Tu.
3. Algebraická metóda rozboru
   
   Obrázok aktivujete Tu.
   • Vypočítajme veľkosť úsečky $\small AC$.
   • Nech $\small d = BB_0$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$.
   • Potom $d = c$. sin $α$.
   • Trojuholníky $\small ABB_0$ a $\small BCB_0$ sú pravouhlé.
   • Pytagorova veta: $\small AB_0= c² - d²  , \small CB_0 = b² - d²$.
   • Veľkosť strany $b = \small AB_0+CB_0$.

Záver analýzy
Z rozboru vyplýva postup konštrukcie trojuholníka $\small ABC$:  strana $\small c=AB$; uhol $\small BAL$ ; kružnica $\small k(B, r=a)$ ... vrchol $\small C$ je priesečník ramena uhla a kružnice.

Konštrukcia - druhá etapa riešenia konštrukčnej úlohy
Konštrukcia sa skladá z dvoch častí: grafická konštrukcia (narysovanie hľadaného útvaru) a zápis krokov (robí sa vedľa). Stiahnite si applet Tu.

Dôkaz - tretia etapa riešenia konštrukčnej úlohy. Dôkazom sa chápe argumentácia, či útvar vytvorený konštrukciou spĺňa všetky požiadavky uvedené v zadaní úlohy. V našom príklade dôkaz vyplýva z postupu konštrukcie.

Diskusia - štvrtá etapa riešenia konštrukčnej úlohy

1. V diskusii určujeme za akých podmienok je úloha riešiteľná, prípadne určujeme koľko má vyhovujúcich riešení resp. skúmame závislosť riešenia od zadaných prvkov.
2. V tejto úlohe výhodne vyžijeme posuvníky a počet riešení odvodíme od vzájomnej polohy daných prvkov.

Nech $d=c.sin\alpha$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$, potom počet priesečníkov $\small C_i$ závisí na hodnotách $a,d,\alpha$. Musíme rozlíšiť dve základné situácie:

1. Pokiaľ platí, že $0 < \alpha < 90°$, potom je $0 < d < c$ a úloha
              a) nemá riešenie, ak $0 < a < d$
              b) má práve jedno riešenie pre $a = d$ alebo $a ≥ c$
              c) má práve dve riešenia za podmienky $d < a < c$. 
   
2. Pre $90° ≤ α < 180°$ je diskusia jednoduchšia, úloha
             a) nemá riešenie za podmienky $0 < a ≤ c$  
             b) má práve jedno riešenie, pokiaľ platí $a > c$.

Poznamenajme, že k úsečke $\small AB$ existujú dva uhly $\small ABL$ a $\small ABL′$ veľkosti $\alpha$, čo zdvojnásobuje počet riešení. Sú však osovo symetrické.