Planimetria a stereometria

Medzi asi najznámejšie vlastnosti trojuholníka patria tvrdenia o veľkostiach jeho strán a vnútorných uhloch:

1. súčet veľkostí ľubovoľných dvoch strán je väčšia ako veľkosť tretej strany - trojuholníková nerovnosť
2. súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná priamemu uhlu - súčet uhlov sa rovná 180°.

Dôkazy týchto vlastností si vyžadujú pomocné tvrdenia o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka, ktoré v tejto kapitole prezentujeme v originálnej podobe (v slovenskom preklade) ako ich publikoval Euklides vo svojich Základoch. Zároveň uvedieme ich interaktívne dôkazy v prostredí GeoGebra.

Kniha 1 Tvrdenie XVI
V každom trojuholníku, ktorého jedna strana sa predĺži, vonkajší uhol je väčší ako ktorýkoľvek protiľahlý vnútorný uhol.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.

Kniha 1 Tvrdenie XVIII
V každom trojuholníku oproti väčšej strane leží väčší uhol.

Dôkaz
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech strana $\small AC$ je dlhšia ako $\small AB$. Hovorím, že tiež uhol $\small ABC$ je väčší ako uhol $\small BCA$.

Otvorte si applet Tu.
1. Nech $\small AC > AB$, odrežme $\small AD=AB$ a veďme $\small BD$... T/III, Post.1
2. A keďže vonkajším uhlom trojuholníka $\small BCD$ je $\small ∢ADB$, je väčší protiľahlému vnútornému uhlu $\small ∢DCB$... T/XVI
3. Avšak $\small ∢ADB=∢ABD$, ako aj strana $\small AB=AD$. $\small ABD$ rovnoramenný
4. Teda tiež $\small ∢ABD >∢ACB$... T/V
5. Mnohom väčší teda je $\small ∢ABC$ ako $\small ∢ACB$.

Kniha 1 Tvrdenie XIX
V každom trojuholníku oproti väčšiemu uhlu leží väčšia strana .

Dôkaz     - otvorte si applet Tu
Nech $\small ABC$ je trojuholník a nech $\small ∢ABC >∢BCA$ hovorím, že tiež strana $\small AC$ dlhšia je ako strana $\small AB$.

1. Pretože ak nie, tak buď $\small AC=AB$ alebo $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ .
2. Určite nie je (rovné) $\small AC$ s $\small AB$, lebo rovným by bol tiež $\small ∢ABC$ s $\small ACB$ avšak nie je. (Pozri Tvrdenie V.: Uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú rovné.)
3. Teda $\small AC$ nerovná sa $\small AB$.
4. Určite ani $\small AC$ je menšie ako $\small AB$ lebo aj $\small ∢ABC$ by bol menší ako $\small ACB$, avšak nie je .
5. Teda nie je $\small AC$ je menšie ako $\small AB$. Ukázalo sa, že však nie rovný. (Spor)

Kniha 1 Tvrdenie XX
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) dvoch sú dlhšie ako strana ostávajúca.

Dôkaz

Kniha 1 Tvrdenie XXIX (Striedavé uhly)
Priamka pretínajúca dve rovnobežné priamky vytvára striedavé uhly $\small AGH$,$\small GHD$ navzájom rovnaké, vonkajší uhol $\small EGB$ sa rovná vnútornému opačnému (súhlasnému) uhlu $\small GHD$ a súčet vnútorných uhlov $\small BGH$,$\small GHD$ na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom.

Kniha 1 Tvrdenie XXXII (Súčet uhlov trojuholníka) V každom trojuholníku, ak sa jedna zo strán predĺži, tak sa vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných protiľahlých uhlov a súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.

Dynamický dôkaz si otvoríte Tu.