Planimetria a stereometria

Dynamický applet si otvoríte Tu.

Definície
Sú dané dve rovnobežné priamky $a,b$, ktoré pretína priamka $p$ v bodoch $\small A,B$. Uhly $\alpha, \beta$ nazývame súhlasné (obr. vľavo) resp. striedavé (obr. vpravo).

Kniha 1, Tvrdenie XV
Ak sa dve priamky pretínajú, tvoria uhly vrcholové, ktoré sa navzájom rovnajú.

Nech sa priamky $\small AB$ a $\small CD$ pretínajú v bode $\small E$. Hovorím, že uhol $\small CEA$ sa rovná uhlu $\small DEB$ a uhol $\small BEC$ sa rovná uhlu $\small AED$.

Applet otvoríte Tu.
1. Tvrdenie XIII: Pretože priamka $\small AE$ stojí na priamke $\small CD$ tvoria uhly $\small CEA$ a $\small AED$, súčet uhlov $\small CEA$ a $\small AED$ sa teda rovná dvom pravým uhlom. >
2. Pretože priamka $\small DE$ stojí opäť na priamke $\small AB$, takže uhly $\small AED$ a $\small DEB$ sa preto súčet uhlov $\small AED$ a $\small DEB$ rovná dvom pravým uhlom.
3. Postulát 4: Súčet uhlov $\small CEA$ a $\small AED$ sa však tiež ukázal ako rovný dvom pravým uhlom, preto sa súčet uhlov $\small CEA$ a $\small AED$ rovná súčtu uhlov $\small AED$ a $\small DEB$.
4. Odvodené pojmy - Zásady Z1, Z3: Od každého odčítajte uhol $\small AED$. Potom zostávajúci uhol $\small CEA$ sa rovná zostávajúcemu uhlu $\small DEB$.
5. Podobne je možné dokázať, že uhly $\small BEC$ a $\small AED$ sú rovnaké.
6. Preto, ak sa dve priamky pretínajú, tvoria uhly vrcholové, ktoré sa navzájom rovnajú.

Interpretujte a dokážte ďalšie Euklidove tvrdenia o uhloch.